1. Задано отображение f: (–1;+¥) R, f(x)=ln(x+1).
a. Определить, является ли отображение инъективным.
b. Определить, является ли отображение сюръективным.
c. Определить, является ли отображение биективным.
d. Найти образ отрезка .
e. Найти прообраз отрезка .
Решение.
а) Пусть , тогда ; и ввиду возрастания логарифмической функции , следовательно, отображение инъективно;
b) Из равенства y=ln(x+1) мы видим, что для любого значения
yÎR существует прообраз , а именно x=ey– 1, таким образом, отображение сюръективно.
c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным.
d) В силу монотонности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка:
; .
Итак, образом отрезка в отображении является , то есть .
e) В силу монотонности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка:
;
.
Итак, прообразом отрезка является ,
2. Задано отображение f: R R,
a) Определить, является ли отображение инъективным.
b) Определить, является ли отображение сюръективным.
|
|
c) Определить, является ли отображение биективным.
d) Найти образ отрезка .
e) Найти прообраз отрезка
Решение.
a) Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : . Производная определена и непрерывна при и обращается в нуль при . При и при производная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно (можно даже построить его эскиз), следовательно, найдутся два значения и такие, что , а (например,
).
Таким образом, отображение неинъективно.
b) График функции y=f(x) принимает все значения от –¥ до +¥, поэтому можно утверждать что для любого y = найдётся соответствующее значение . Таким образом, отображение сюръективно.
c) Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным.
d) На отрезке только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в формулу f(x):
;
;
.
Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезка является отрезок (то есть ).
e) Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах. , если , причём функция принимает неотрицательные значения при и при . Значение 2 функция принимает при , причём на отрезке отображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел то есть .
|
|
Примечание.
Данную задачу проще решить, построив график отображения y=f(x).
3. «Декартово произведение множеств».