2015-06-28
2138
1. Задано отображение f: (–1;+¥) 
R, f(x)=ln(x+1).
a. Определить, является ли отображение 
инъективным.
b. Определить, является ли отображение сюръективным.
c. Определить, является ли отображение биективным.
d. Найти образ отрезка 
.
e. Найти прообраз отрезка 
.
Решение.
а) Пусть 
, тогда 
; и ввиду возрастания логарифмической функции 
, следовательно, отображение инъективно;
b) Из равенства y=ln(x+1) мы видим, что для любого значения
yÎR существует прообраз 
, а именно x=ey– 1, таким образом, отображение сюръективно.
c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным.
d) В силу монотонности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка:
; 
.
Итак, образом отрезка в отображении является 
, то есть 
.
e) В силу монотонности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка:
;
.
Итак, прообразом отрезка 
является 
,
2. Задано отображение f: R R, 
a) Определить, является ли отображение инъективным.
b) Определить, является ли отображение сюръективным.
c) Определить, является ли отображение биективным.
d) Найти образ отрезка 
.
e) Найти прообраз отрезка 
Решение.
a) Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : 
. Производная 
определена и непрерывна при и обращается в нуль при 
. При 
и при 
производная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При 
производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно (можно даже построить его эскиз), следовательно, найдутся два значения 
и 
такие, что , а 
(например,
).
Таким образом, отображение неинъективно.
b) График функции y=f(x) принимает все значения от –¥ до +¥, поэтому можно утверждать что для любого y = 
найдётся соответствующее значение 
. Таким образом, отображение сюръективно.
c) Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным.
d) На отрезке 
только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в формулу f(x):
;
;
.
Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезка является отрезок 
(то есть 
).
e) Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах. 
, если 
, причём функция принимает неотрицательные значения при 
и при 
. Значение 2 функция принимает при 
, причём на отрезке 
отображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел 
то есть 
.
Примечание.
Данную задачу проще решить, построив график отображения y=f(x).
