double arrow

IV. Решение некоторых типовых заданий. 1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множестве A, если .

1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множестве A, если .

Решение.

1. Проверим, обладает ли отношение свойствами группы рефлексивности.

Множество содержит три элемента, каждый из которых находится в отношении сам с собой, а именно:

Таким образом, отношение обладает свойством рефлексивности, и поэтому не может обладать свойством антирефлексивности.

2. Проверим, обладает ли отношение свойствами группы симметричности.

Для каждой пары элементов, принадлежащей множеству , должно выполняться условие: если пара , то пара . Имеем:

Таким образом, отношение обладает свойством симметричности, и поэтому не может обладать свойствами асимметричности или антисимметричности.

3. Проверим, обладает ли отношение свойством транзитивности.

Для каждых 2х пар элементов, принадлежащих множеству , должно выполняться условие: если пары , то пара . Имеем:

и ;

и ;

и ;

и ;

и ;

и .

Кроме того, все пары с одинаковыми элементами (например, (2,2)) очевидно, обладают свойством транзитивности по отношению к самим себе.

Таким образом, отношение обладает свойством транзитивности.

4. Отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности.

2. На множестве людей рассмотрим отношение "быть одинакового роста". Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?

Решение.

1. Поскольку каждый человек «одинакового роста» сам с собой, то заданное отношение обладает свойством рефлексивности.

2. Если человек А одинакового роста с человеком Б, то всегда человек Б одинакового роста с человеком А. Таким образом, заданное отношение обладает свойством симметричности.

3. Если человек А одинакового роста с человеком Б, и человек Б одинакового роста с человеком В, то всегда человек А одинакового роста с человеком В. Таким образом, заданное отношение обладает свойством транзитивности.

4. Отношение "быть одинакового роста" обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности являются множества людей одинакового роста друг с другом.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: