Отношения

Часто элементы разных множеств связаны различными отношениями. Отношение является фундаментальным понятием математики, так же, как и понятие множества. Отношение используется для обозначения связи между объектами или понятиями, при этом отношение может быть многоместным.

-местное ( -арное) отношение на множестве это любое подмножество декартова произведения .

Обычно отношение в отличие от соответствия, которое обозначается буквой , обозначается буквой , но записи аналогичны.

-местное отношение обозначается как или . Говорят, что находятся в отношении , если .

Пусть, например, V – множество всех точек плоскости, а L – множество всех прямых этой плоскости. Отношение «прямые пересекаются в точке » – трехместное отношение, определенное на множестве . Оно является множеством всех троек , таких, что пересекаются в точке .

При отношение называется одноместным или унарным и является подмножеством множества , то есть одноместное отношение – это просто подмножество . Такие отношения еще называют признаками: обладает признаком , если и . Свойства одноместных отношений – это свойства подмножеств , поэтому для случая термин отношение употребляется редко. Примером унарного отношения является равенство типа , в быту это самообслуживание.

При отношение Р называется трехместным или триарным, или тернарным. Примером трехместного отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде. Каждый из нападающих находится в этом отношении со всеми теми игроками, с которыми он играет в одной тройке (хотя один нападающий может находиться в отношении и с другими игроками, находящимися на льду, но в составе тройки он связан обязанностями, отличающимися от его отношений с защитниками). Примером трехместного отношения является также арифметическая операция с тремя величинами .

Наиболее известны отношения при , которые называются двухместными или бинарными отношениями, отражающими связь между двумя объектами. Для этих отношений, если находятся в отношении , это записывается как или .