Последовательность выполнения работы

Вычислительные методы

Статистические параметры распределения могут быть вычислены по тем формулам, по которым они определяются. Однако существует способ вычислений, позволяющий избежать вычисления отклонений d_i –` d и, тем самым, сократить общее число арифметических действий и промежуточных округлений. Когда проводится полная статистическая обработка большого объема данных, применяют именно его. Этот способ называется методом начальных моментов.

Начальным моментом k -ого порядка (или k -ым начальным моментом распределения) называется величина:

(11)

То есть, , , ,....

Преобразованием формул (5), (6), (7), (10) можно найти:

` d = n₁ (12)

s ² = n₂ (13)

(14)

Последовательность выполнения работы

Исходными в этой работе считаются данные о числах N_i наблюдений диаметра частиц в интервалах диаметра D d. Общая схема выполнения работы следующая.

I) Из исходных данных вычисляются диаметры d_i в серединах интервалов (карманов) и частоты f_i. По ним строится гистограмма, и из неё (или из таблицы) определяется мода распределения.

II) Вычисляется кумулятивная частота F_i. По этим данным строится диаграмма кумулятивного распределения. Из неё (или из таблицы) определяется медиана распределения.

III) Вычисляется первый начальный момент n₁ и, таким образом, средний арифметический диаметр` d.

IV) Вычисляется второй начальный момент n₂ и, с его помощью, дисперсия s ², среднее квадратичное отклонение s, и коэффициент вариации V.

V) Вычисляется третий начальный момент n₃ и, с его помощью, коэффициент асимметрии А.

Более подробно последовательность анализа данных объясняется ниже на примере статистики в табл. 1.

1. Вычисляются диаметры d_i в серединах интервалов D d, как полусумма нижней границы интервала i +1 и нижней границы интервала i. Например, диаметр d в первой строке в колонке 2 равен (6 + 4)/2 = 5. Аналогично в остальных строках, кроме последней, где d равен полусумме верхней и нижней границ интервала, d = (28 + 26)/2 = 27. Результаты занесены в колонку 2.

2. Вычисляется общее число измерений N как сумма всех N_i в колонке 3. Найденная величина N = 1730 указана внизу колонки 3.

3. Вычисляются частоты f_i наблюдений диаметров d_i делением каждого N_i на N. Результаты заносятся в колонку 4.

4. По результатам в колонках 4 и 2 строится гистограмма (рис. 2А).

5. Из гистограммы (или из таблицы) определяется мода или моды распределения. В частности, из рис. 2А видно, что распределение имеет один максимум, приходящийся на d = 15 нм. То есть, распределение имеет моду М = 15 нм.

6. В колонке 5 вычисляется кумулятивная частота F_i. В каждой строке i она равна сумме частоты f_i в той же строке i (колонка 4) и накопленной частоты в предыдущей строке i –1: F_i = f_i + F_{i –1}. Например, во второй строке F ₂ = f ₂ + F ₁ = 0.0315 + 0.0035 = 0.0350. Аналогично в остальных строках, но в первой строке F ₁ = f ₁ + 0 = f ₁ = 0.0035.

7. По результатам в колонках 5 и 2 строится диаграмма кумулятивного распределения (рис. 2Б).

8. Из полученной диаграммы (или из таблицы) определяется медиана распределения. В частности, из рис. 2Б видно, что величина F = 0.5 приходится между столбцами диаграммы при d = 13 нм и d = 15 нм. Поэтому распределение имеет медиану m = 14 нм.

9. В колонке 6, в каждой строке i, вычисляется произведение частоты и диаметра f_id_i.

10. Вычисляется первый начальный момент по формуле (11) как сумма произведений f_id_i по всем строкам колонки 6. Результат n₁ = 15.1781 нм указан внизу колонки.

11. В соответствии с формулой (12), получается среднее арифметическое, ` d = n₁ = 15.2 нм.

12. В колонке 7, в каждой строке i, вычисляется произведение умножением произведения f_id_i в той же строке (колонка 6) и диаметра d_i в той же строке (колонка 2), = f_id_i × d_i.

13. Вычисляется второй начальный момент по формуле (11) как сумма произведений по всем строкам колонки 7. Результат n₂ = 247.427 нм² указан внизу колонки.

14. По формуле (13) получается дисперсия s ² = n₂ = 247.427 нм² – (15.1781 нм)² = 17.1 нм², а из неё по формуле (7) получается среднее квадратичное отклонение s = = 4.1 нм.

15. По формуле (8) вычисляется коэффициент вариации = (4.1 нм)/(15.2 нм) = 0.27 = 27 %.

16. В колонке 8, в каждой строке i, вычисляется произведение умножением произведения в той же строке (колонка 7) и диаметра d_i в той же строке (колонка 2), = × d_i.

17. Вычисляется третий начальный момент по формуле (11) как сумма произведений по всем строкам колонки 8. Результат n₃ = 4298.04 нм³ указан внизу колонки.

18. По формуле (14) вычисляется показатель асимметрии:

= [4298.04 нм³ – 3(247.427 нм²)(15.1781 нм) + 2(15.1781 нм)³]/(4.1 нм)³ = 0.35.

Выводы: ` d = 15.2 нм, s = 4.1 нм, коэффициент вариации 27 %, мода 15 нм, медиана 14 нм, коэффициент асимметрии 0.35.