Найдем . Следовательно,
(ед. работы).
Угол между и находим по формуле т. е.
4. Евклидово пространство.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
1°. ху=ух – коммутативное свойство.
2°. х(у+z)=xy+xz – дистрибутивное свойство.
3°. ( α х)у =α (ху) – для любого действительного числа α.
4°. хх >0, если х – ненулевой вектор, хх =0, если х – нулевой вектор.
Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.
5. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов и на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 3):
(4)
Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :
Рис. 3
Условие коллинеарности векторов:
Если , то (и наоборот), т. е.
|
|
Некоторые приложения векторного произведения.
1.Определение момента силы относительно точки.
Пусть в точке приложена сила и пусть - некоторая точка пространства (рис. 4).
Из курса физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точку и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами и .
Значит, .
Рис.4
2.Нахождение линейной скорости вращения.
Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где — некоторая неподвижная точка оси (рис. 5).
Рис.5
6. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное
(5)
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Условие компланарности векторов.
Векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю при условии, что :
векторы компланарны.
Пример 4. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды.