Пример построения модели транспортной задачи

Пусть необходимо организовать оптимальные по транспортным расходам перевозки муки с двух складов в три хлебопекарни. Ежемесячные запасы муки на складах равны 79,515 тонн и 101,925 тонн, а ежемесячные потребности хлебопекарен составляют 68 тонн, 29,5 тонн и 117,4 тонн соответственно. Мука на складах хранится и транспортируется в мешках по 45 кг. Транспортные расходы (руб./т) по доставке муки представлены в табл.2. Между первым складом и второй хлебопекарней заключен договор о гарантированной поставке 4,5 тонн муки ежемесячно. В связи с ремонтными работами временно невозможна перевозка из второго склада в третью хлебопекарню.

Таблица 2

Транспортные расходы по доставке муки (руб./т)

Склады	Хлебопекарни
ХП₁	ХП₂	ХП₃
С₁
С₂

Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс-методом, что и осуществляется при использовании табличного процессора Microsoft Excel. В то же время существует более эффективный вычислительный метод – метод потенциалов, предложенный Л.В. Канторовичем и М. К. Гавуриным в 1949 г., при применении которого учитывается специфическая структура условий транспортной задачи и, по существу, выполняются шаги, аналогичные алгоритму симплекс-метода.

В данной лабораторной работе необходимо построить оптимизационную модель транспортной задачи, пригодную для ее решения методом потенциалов.

Определение управляемых переменных

Обозначим через [мешков] количество мешков с мукой, которые будут перевезены с -го склада в -ю хлебопекарню.

Проверка сбалансированности задачи

Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 4,5 т из следующих величин:

· из запаса первого склада:

;

· из потребности в муке второй хлебопекарни:

Согласно условию задачи, мука хранится и перевозится в мешках по 45 кг, то есть единицей измерения переменных является количество мешков муки. Но запасы муки на складах и потребности в ней магазинов заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения – количеству мешков. Например, запас муки на первом складе равен 75,015 т/мес., или

а потребность первой хлебопекарни составляет 68 т/мес., или

Округление при расчете потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворена полностью.

Для данной транспортной задачи имеет место соотношение

Ежемесячный суммарный запас муки на складах меньше суммарной потребности хлебопекарен на 4677-3932=745 мешков муки, откуда следует вывод: транспортная задача не сбалансирована.

Построение сбалансированной транспортной матрицы

Сбалансированная транспортная матрица представлена в таблице 3. Стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к 1 мешку муки. Так, например, тариф перевозки из первого склада в третий магазин равен

Для установления баланса необходим дополнительный фиктивный склад, то есть дополнительная строка в транспортной таблице задачи. Фиктивные тарифы перевозки зададим таким образом, чтобы они были дороже реальных тарифов, например, 50,00 руб./меш.

Невозможность доставки грузов со второго склада в третью хлебопекарню задается в модели с помощью запрещающего тарифа, который должен превышать величину фиктивного тарифа, например, руб./меш.

Таблица 3

Транспортная матрица задачи

	Хлебопекарни	Запас, мешков
Склады	ХП₁	ХП₂	ХП₃
С₁	15,75	8,55	18,90
С₂	18,00	4,50
С_ф
Потребность, мешков				4677

Задание целевой функции

Математическое выражение целевой функции, характеризующей суммарные затраты на возможные перевозки муки, учитываемые в модели, задается следующим выражением:

(5)

При этом следует иметь в виду, что вследствие использования фиктивных тарифов реальная целевая функция (то есть средства, которые в действительности придется заплатить за транспортировку муки) будет меньше формальной целевой функции (5) на стоимость найденных в процессе решения фиктивных перевозок.

Критерий оптимальности решения

транспортной задачи линейного программирования