Задача №6. 1. Построим поля рассеяния для зависимости y(x)

1. Построим поля рассеяния для зависимости y(x):

На основе анализа диаграммы выдвигаем гипотезу о том, что зависимость между денежными доходами и потребительскими расходами линейная. Эту зависимость можно описать в виде математической модели: , где

a₀, a₁ – параметры модели;

e - некоторая ошибка, благодаря которой любое индивидуальное значение y может отклоняться от линии регрессии.

2. Используя метод наименьших квадратов, найдем точечные оценки параметров модели. Для этого составим вспомогательную расчетную таблицу

№	X	Y	X2	Y2	X×Y
	1,66	1,32	2,7556	1,7424	2,1912
	1,59	0,86	2,5281	0,7396	1,3674
	1,59	1,04	2,5281	1,0816	1,6536
	1,58	1,18	2,4964	1,3924	1,8644
	2,36	1,72	5,5696	2,9584	4,0592
	2,35	1,55	5,5225	2,4025	3,6425
	1,44	0,89	2,0736	0,7921	1,2816
	1,5	1,26	2,25	1,5876	1,89
S	14,07	9,82	25,7239	12,6966	17,9499

Для нахождения параметров уравнения регрессии составляется система линейных уравнений

,

Коэффициенты этой системы находятся по формулам:

, , ,

,

,

y=0,007+0,694×x

Построим прямую регрессии на графике

3. Найдем коэффициент парной корреляции между X и Y.

Положительное значение коэффициента корреляции говорит о том, что связь прямая, а его значение – о том, что связь высокая.

Проверим значимость r_xy при уровне значимости a=0,1. По таблице находим:

t_кр(1- ;n-2)=t_кр(0,95;6)=1,943.

Рассчитаем t-статистику:

Т.к. >t_кр(1- ;n-2), то коэффициент корреляции статистически значим.

Определим коэффициент детерминации R². В случае парной регрессии

R²= =0,856²=0,733

4. Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 8-м субъекте.

x₈=1,5×1,3=1,95 тыс. руб. Þ

y₈=0,007+0,694×1,95=1,36 тыс. руб.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 8-м субъекте по формуле:

, где

y_в, y_н – верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,1 t_0,95;6=1,943.

Значение S_y определяется по формуле:

,

Для промежуточных расчетов составим таблицу:

№	X	Y
	1,66	1,32	1,159	0,026	0,010
	1,59	0,86	1,110	0,063	0,028
	1,59	1,04	1,110	0,005	0,028
	1,58	1,18	1,103	0,006	0,032
	2,36	1,72	1,645	0,006	0,362
	2,35	1,55	1,638	0,008	0,350
	1,44	0,89	1,006	0,014	0,102
	1,5	1,26	1,048	0,045	0,067
Итого	14,07	9,82	9,820	0,171	0,978

Тогда:

,

y_н=1,36-1,943×0,068=1,473

y_в=1,36+1,943×0,068=2,067

yÎ[1,228;1,493]

Т.е. с вероятностью 90% можно утверждать, что потребительские расходы будут находиться в интервале от 1,228 до 1,493 тыс. руб.

5. Проведем содержательную интерпретацию полученных результатов.

Найденная прямая регрессии, изображенная на рисунке вместе с полем рассеяния, наилучшим образом приближается к заданным точкам. Найденный коэффициент корреляции r_xy=0,856 свидетельствует о высокой и прямой линейной связи между денежными доходами и потребительскими расходами на душу населения.

Из найденного уравнения регрессии можно сказать, что при росте доходов на душу населения на 1 тыс. руб. потребительские расходы увеличатся в среднем по 8 субъектам РФ на 694 руб.

Чтобы заключение о тесноте линейной зависимости было обоснованным, была доказана значимость коэффициента корреляции.

Величина коэффициента детерминации R²=0,733 показывает, что 73,3% дисперсии признака y объясняется построенным уравнением регрессии.

В 4-м пункте был найден точечный прогноз потребительских расходов при заданном среднегодовом доходе, но так как вероятность совпадения фактического значения с точечным прогнозом равна 0, то был построен доверительный интервал, в который с 90%-ой вероятностью попадет фактическое значение y.

y=0,007+0,694×x

y₈=1,36 тыс. руб.

yÎ[1,228;1,493]