Задача №4. 1. Фиксируем значение K=72, тогда

1. Фиксируем значение K=72, тогда

Y(L;72)=7×L^0,2×72^0,8

Построим график при изменении рабочей силы в пределах 10≤L≤100

Фиксируем значение L=9, тогда

Y(9;K)=7×9^0,2×K^0,8

Построим график при изменении оборудования в пределах 50≤K≤300

2. Изоквантой производственной функции называется совокупность всех точек K и L, при которых производственная функция принимает одно и то же значение.

Составим уравнения изоквант при фиксированных значениях объема выпуска продукции:

y₁=222: 7×L^0,2×K^0,8=222 (1 изокванта)

y₂=333: 7×L^0,2×K^0,8=333 (2 изокванта)

y₃=445: 7×L^0,2×K^0,8=445 (3 изокванта)

Построим их графики:

3.

y_баз=333

L_баз=9

y_пл=1,1×y_баз=1,1×333=366,3

L_пл=1,05×L_баз=1,05×9=9,45

Используя уравнение изокванты Y=7×L^0,2×K^0,8=366,3, получим выражение для потребности в оборудовании:

Если объем трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании в базовом периоде составит

(тыс. ст.-час.)

Если объем трудовых ресурсов увеличится на 5%, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.)

4. Составим ограничение по величине денежных средств, которые фирма может затратить на приобретение ресурсов:

p_L×L+p_K×K≤C

40L+20K≤2000

Тогда экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Y(L,K)=7×L^0,2×K^0,8®max

Т.е. нужно найти точку касания самой высокой изокванты с линией бюджетного ограничения.

Y(L,K)=7×L^0,2×K^0,8®max

40L+20K=2000

Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением: 40L+20K=2000.

Для нахождения оптимального решения используем тот факт, что градиент целевой функции в точке касания будет перпендикулярен прямой АВ. Поэтому имеем равенство:

=5,6×L^0,2×K^-0,2, а =1,4×L^-0,8×K^0,8, то Þ L= K

Подставим это выражение в бюджетное ограничение:

40× K+20K=2000 Þ 25K=2000 Þ K^*=80, тогда L^*= ×80=10

При этом объем выпуска продукции максимален и составляет:

Y(L;K)=7×10^0,2×80^0,8=369,46 ед.

Определим предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой:

Эта величина показывает, что затраты рабочей силы нужно увеличить на 0,5 единиц, чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска продукции остался на прежнем уровне.

Определим предельную эффективность финансовых ресурсов:

Эта величина показывает, что при увеличении объема капитала на 1 денежную единицу производительность увеличится на 0,1847 единиц.