2015-06-30
1946
Если дисперсия в генеральной совокупности неизвестна, то тогда стандартная ошибка выборочного распределения средних значений должна быть оценена следующим образом (см. гл. 4.):
где
д_ ^1(х-х)2 п выборочное стандартное отклонение;
д Л/ 1(х-х)2
° ■ v_onr
— несмещенная оценка стандартного отклонения генеральной совокупности.
Распределение соответствующей стандартизованной переменной далеко не нормальное. В этом случае взамен нормального распределения используется t-распределение Стьюдента. (1 - а) 100% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности запишется как:
А
***а/2,(п-1) ^п'_ "ЛН *±ta/2An-t) -fa.
где te /2 /„.J» — стандартизованная t-переменная для (п-1) степеней свободы,
выше которой лежит (а/2) 100% площади t-распределения.
В главе 4 отмечалось, что если объем выборки а, по крайней мере равняется 30, то t-распределение можно считать тождественным нормальному распределению.
О Пример S.3. Случайная выборка п = 25 пакетов яблок показала, что средний вес пакета х равен 1020 г со стандартным отклонением s = 12 г. Найти доверительный интервал для среднего веса яблок генеральной совокупности с вероятностью 95%. Предполагается, что генеральная совокупность нормальная.
|
|
|
Решение
Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, то может быть оценена только стандартная ошибка выборки, t-распределение является подходящим выборочным распределением. Доверительный интервал с вероят-
Гл. 5. Статистический вывод 1
ностью 95% для среднего значения генеральной совокупности находится следующим образом:
5E±W24 ^<ГЛГ
где 10 025 24 — стандартная t-переменная, выше которой находится 2,5% площади t-распределения с (25 - 1)-степенями свободы. Используя таблицу t-распределе-ния (см. приложение 2), находим, что:
10,025, 24 = 2,064.
Следовательно, доверительный интервал с вероятностью 95%' составит: 1020 ± 2,064 х 4= = Ю20 ± 5,06 г.
На 95% мы уверены, что средний вес пакетов с яблоками в генеральной совокупности ц находится в пределах от 1015 г до 1025 г.
Отклонение в ±5,06 г составляет приблизительно ±0,5% среднего веса пакета в выборке, равного 1020 г. Полученное выборочное среднее значение может считаться надежной оценкой генеральной средней.
LJ Пример 5.4. Производитель автомобильных шин заинтересован в получении оценки средней износоустойчивости шин одной особой модели. Он провел случайную выборку объемом 10 шин и подверг их специальному испытанию. Средняя износоустойчивость по данным выборки оказалась равной 22500 миль со стандартным отклонением s = 3000 миль. Найдем доверительный интервал с вероятностью 99% для средней износоустойчивости всего выпуска шин этого типа. Как обычно предполагается, что генеральная совокупность нормальная.
|
|
|
Решение
Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, то возможна лишь оценка стандартной ошибки выборочного распределения. Принимаем, что t-распределение является подходящим для использования стандартного распределения. Доверительный интервал с вероятностью 99% для среднего значения генеральной совокупности находится следующим образом:
""-0,005.9 ^^у.
где 10 ^j g — стандартизованная t-переменная, выше которой находится 0,5%-ное
t-распределение с (10 — 1)-степенями свободы.
Используя таблицу t-распределения (см. приложение 2), находим:
' 0,005, 9 = 3,25.
Следовательно, доверительный интервал с вероятностью 99% составит:
142 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений
22500 ± 3,25 х Щ£ - 22500 ± 3250 миль.
Мы на 99% уверены, что средняя износоустойчивость этого типа шин в генеральной совокупности ц находится в пределах между 19250 миль и 27750 миль.
Отклонение в ± 3250 миль составляет приблизительно ± 14% выборочной средней износоустойчивости (22500 миль). Такое отклонение, по-видимому, является слишком большим, и, следовательно, выборочное среднее значение износоустойчивости может быть недостоверным для надежной оценки среднего значения генеральной совокупности.
