Объем выборки, необходимый для оценки генеральной доли

LJ Пример 5.9. Используя данные примера 5.5, в котором аудитор провел выборку 500 записей для оценки доли ошибок, определим,какую выборку прове­дет аудитор, если он хочет быть в пределах 0,005 генеральной доли с доверитель­ной вероятностью 95%. Доля ошибок в первоначальной выборке была равна 0,02 с доверительным интервалом +0,012 с вероятностью 95%.

Решение

Размах доверительного интервала для доли:

Р

1Z./J-SE;

Его величина может быть найдена по следующей формуле:

Гл. 5. Статистический вывод 1

Аудитору требуется, чтобы размах доверительного интервала с вероятностью 95% для доли максимально достигал ± 0,005. Поэтому необходимо, чтобы:

_li96voz»^

Используя данные предыдущей выборки, мы можем установить, что р = 0,02 и решить неравенство для п:

1.96 х V^^S 0,005 п

Отсюда

1,96'х 0,02 х 0,98 ₂

п

Следовательно,

1,96²х0,0 2 х 0,98 „

5 ^Sn >

0.005²

тогда п £ 3012.

Если аудитор хочет объяснить пределы генеральной доли 0,005 с доверитель­ной вероятностью 95%, объем его выборки должен быть не меньше 3012.

Если мы не учитываем данные первоначальной выборки, то должны предполо­жить разумную величину выборочной доли р. Если оценить ее равной 0,03, то тогда требуемый размер выборки изменится: п = 4500. Поскольку наблюдаемая доля ошибок очень мала, то маленькое абсолютное изменение от 0,02 до 0,03 приводит к большой разнице в требуемом объеме выборки.

РЕЗЮМЕ

Информация, полученная по простой случайной выборке, произведенной из нор­мальной генеральной совокупности, используется для вывода о среднем значении или доли исходной генеральной совокупности. Доверительный интервал с вероят­ностью 95% позволяет нам быть на 95% уверенными, что параметр генеральной совокупности лежит в пределах доверительного интервала, соответственно. В 5% случаев мы можем ошибаться, и параметр лежит вне интервала. (1 ~ а) 100% доверительные интервалы рассчитываются по следующей формуле (используем стандартное z и t-выборочкые распределения, приведенные в таблицах Приложения 2): 1. Доверительный интервал для генеральной средней ц при известной <г:

^X±Za/2^-

148 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

2. Доверительный интервал для генеральной средней ц при неизвестной <г:

Л

— s — а

^х ± ¹а /2, (п - I) ^ _ ^ ""И ^Х ± ¹а /2. (п - 1) ^ •

В соответствии с центральной предельной теоремой эта формула также применима в случае ненормальной генеральной совокупности при объеме выборки п £ 30.

3. Доверительный интервал для генеральной доли р, когда и пр £ 5 и п (1-р) £ 5:

Р ^±za/2 * „

На основе этих формул может быть рассчитан объем выборки п, требуемый для построения доверительного интервала определенной ширины; также может быть найден уровень значимости. Решение этих задач предполагает, что a известна или мы можем оценить её с помощью s или р из первоначальной выборки.