Понятие вектора и линейные операции над векторами

Геометрическим вектором или просто вектором будем называть направленный отрезок.

Мы будем обозначать вектор либо символом , где буквы А и В обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо строчными латинскими буквами со стрелочками наверху, например, . Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, и обозначают длины векторов и соответственно.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они находятся либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они находятся в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (точки приложения векторов могут не совпадать).

Вектором, противоположным вектору , называется вектор, коллинеарный ему, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.

Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Это правило нахождения суммы векторов называется “правилом треугольника”.

В случае, когда нужно найти сумму нескольких векторов пользуются правилом “замыкания ломаной”: если начало вектора приложить к концу вектора , а начало вектора приложить к концу вектора и т.д., то сумма будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

Разностью вектора и вектора называется вектор, который в сумме с дает вектор . Чтобы найти разность векторов , нужно привести вектора и к общему началу и провести вектор из конца вектора в конец уменьшаемого вектора .

Довольно часто для нахождения суммы и разности векторов пользуются правилом параллелограмма: если вектора и привести к общему началу и достроить до параллелограмма, то диагональ, идущая из общего начала, будет представлять сумму векторов, а другая диагональ будет представлять разность векторов.

Произведением вектора на вещественное число , не равное 0, называется вектор, коллинеарный , имеющий длину и направление, совпадающее с , если и противоположное вектору , если <0.