Алгебраическая форма комплексных чисел и операции над ними

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Алгебраическая форма комплексных чисел и операции над ними

Комплексным числом называется выражение вида

, (1)

где a и b – действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей и i² = -1, т.е. . В формуле (1) называется действительной частью, а - мнимой частью комплексного числа и обозначается , .

Операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, выполняются таким же образом, как и над обычными многочленами, с последующей заменой i² на –1.

Комплексные числа и называются равными только тогда, когда и .

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число (2)

Сложение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности: и ассоциативности:

Пример. Найти сумму комплексных чисел и .

Решение:

Разностью комплексных чисел и называется число

(3)

Пример. Вычислить , если и

Решение:

Произведением комплексных чисел и называется число

(4)

Умножение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности: и ассоциативности:

Пример. Найти произведение комплексных чисел и

Решение:

Комплексное число называется нулевым комплексным числом или просто нулём. Легко проверить, что для любого комплексного числа z имеет место

и .

Пусть дано комплексное число , тогда число называется противоположным ему. Легко проверить, что и .

Если , то число называется сопряжённым числу z. В частности, действительное число сопряжено самому себе, так как Так,

если то .

Частным комплексных чисел и называется число

(5)

Формула (5) была получена следующим образом. Заметим, что для двух комплексно сопряженных чисел имеют место соотношения:

т.е. сумма и произведения двух комплексно сопряженных друг другу чисел есть всегда действительное число, в связи с этим, чтобы найти , надо домножить числитель и знаменатель данной дроби на и произвести умножение с учётом, что :