2015-06-30
524
Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях, в случае α ≠ β.
Смешанные стратегии – такие, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.
Смешанные стратегии стороны А обозначают:
s*A (P1, P2 …Pm) (19.2)
P1, P2, Pm –вероятности, с которыми применяются стратегии А1,А2…Аm соответственно.
∑Pi = 1
i=1
s*B (q1,q2…qn) (18.3)
∑i = qi = 1
j=1
Смешанные стратегии в результате дают пару оптимальных стратегий s*A и s*B и применительно к игре “2 х 2”.
P1 = a22 - a21 )
(a 11 + a22) – (a12+ a21)
P2=1-P1 (19.4)
q1= a22 - a12
(a 11+ a22) – (a12+ a21)
q2 =1-q1 (19.5)
В этом случае чистая цена игры γ:
γ = a22 *a21 - a12 *a21
(a 11 + a22) – (a12+ a21)
Игра “2 х 2” имеет решение, которое можно получить в геометрической интерпретации.
Правила графического представления результатов игры:
1) На отрезке оси абцисс, длина которого =1 обозначим стратегию А1, а на правом – А2.
В промежуточной точке участка обозначаются смешанные стратегии стороны А.
2) Через точки А1, А2 проводят перпендикуляры к оси Х
Оси I, I и II, II.
На оси I, I откладывают выигрыши, при стратегии А1.
На оси II, II выигрыши при стратегии А2.
3) Стратегия противника В1 дает на осях I, I, II, II точки с координатами a11 и a21; А стратегия В2 - a12 и a22.
4) Ордината точки N пересечения стиратегий В1 и В2 дает величину выигрыша γ – цену игры.
Абцисса точки N дает вероятность обеих стратегий P1 и P2, которые равны расстоянию от точки s*A до правого и левого конца отрезка А1 и А2 соответственно. Нижняя (гарантированная) граница выигрыша выделена жирной линией.
I II
В2 В1
N
 |
a12
γ a21
a11 a22
I А1 P2 s*A P1 А2 II
Задача
Банк хочет купить акции некоторого А.О.; стремясь сделать покупку выгоднее банк снабжает А.О. информацией, которая может восприниматься:
правдивой - А1 и ложной - А2.
А.О. может как проверить информацию - В1, так и не проверить – В2.
В такого класса задачах платежные матрицы игры обычно отражают величину прироста стоимости для успешной сделки для банка по отношению к вложенным средствам.
Платежная матрица:
| Банк | продавец | А.О. | αi |
| В1 | В2 | ||
| А1 | О,608(a11) | 1,0(a12) | 0,608 |
| А2 | 1,0(a21) | 0,44(a22) | 0,44 |
| βj | 1,0 | 1,0 |
Требуется выбрать такую стратегию банка, при которой результат будет максимально возможным и независим от действий А.О.
Примечание: Седловой точки в задаче нет, то есть α ≠ β, следовательно оптимальное решение в чистой стратегии не возможно.
Выбор в качестве решения хода А1, имеющего небольшую эффективность, дает неустойчивую стратегию, пригодную лишь в случае если второй игрок (А.О.) не располагает данными о выбранном решении первым игроком (банком).
Решение:
Для получения устойчивой стратегии первым игроком, удовоетворяющим требованиям задачи необходимо искать решение в смешанных стратегиях, в соответствии с формулами 18.4 – 18.6.
P1 = a22 - a21 = 0,44-1,0 =0,588
(a 11+ a22) – (a12+ a21) (0,8+0,44) – (1,0+1,0)
P2 = 1- P1 =0,412
Поскольку a12 = a21= P1=0,588, q1=0,58, q2=0,412.
По формуле 18.6 чистая цена γ, соответствующая активной стратегии будет равняться:
γ = a22 a21 - a12 a21 = 0,44*0,608 – 1,0*1,0 = 0,769
(a 11 + a22) – (a12+ a21) (0,608+0,44)-(1,0+1,0)
Когда все данные рассчитаны можно представить графическое отображение игры «2х2»:
I 
II
1 В2 В1 1
N
a12 a21
γ=0,769
a11=0,608 a22
I А1 P2=0,412 s*A P1=0,588 А2 II банк
s*A = (р1, р2)
s*В =(q1, q2)
Выводы: Поскольку между банком и А.О. имеют место противоречивые интересы (конфликт цен), то построенная матричная игра при ее решениии заставляет банк сообщить истинную цену акций акционерному обществу. В этом случае по результатам игры банк с вероятностью 0,588 получит максимально возможный результат в виде чистой цены =0,769.
Такая система доказательств менеджером необходимости выдачи сведений об истинной цене акций руководству банка позволяет ему при заключении сделки
“купли – продажи” товара (акций) провести переговоры с продавцом с существенной прибылью для банка.
Такие задачи, возникающие в процессе согласования менеджером цены при заключении сделки “купли – продажи” товара, он обязан решать привлекая инструмент матричных игр. Рассмотрим ещё один характерный пример деятельности предприятия на стадии его развития.
