Задача создания резерва запасов (пекарня)

Предприятие печет хлеб на продажу магазинам.

Себестоимость - Сп продукции составляет 2 рубля.

Цена продажи - Цп = 3 руб.

Априорная вероятность объема продаж приведена в таблице:

Спрос в тыс. руб.						Всего
Частота наступления спроса						50 дней
Рс = m/n	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	Сумма =1

При объеме продаж М=10 тыс. изделий, объем выпуска N=10 тыс. изделий. При этом запасов сырья на складе достаточно чтобы произвести З п = 10 тыс. изделий. Какой резерв запаса сырья надо создать, чтобы обеспечить максимальную выручку от продаж с минимальным риском.

Решение:

1) Строим матрицу доходов:

N M	maxmin
				-2	-6
					maxmax

Д = М * Ц – С * N (17.5)

2) Строим матрицу потерь

N/ M

Сп = |M - N|*C (17.6)

Рассчитываем риск как произведение потерь на вероятность их наступления:

R=Сп*Р (Сп) (17.7)

Строим матрицу рисков:

N Рсп
0,1		0,4	0,8	1,2	1,6
0,2	0,4		0,8	1,6	2,4
0,3	1,2	0,6		1,2	2,4
0,3	1,8	1,2	0,6		1,2
0,1	0,8	0,6	0,4	0,2

Матрица рисков получена путем умножения вектора-столбца Рсп на квадратную матрицу М*N.

Из матрицы рисков можно рассчитать суммарные риски, по каждому столбцу матрицы рисков. ∑ Ri = 4,2; 2,8; 2,6; 4,2; 7,6 (17.8)

Из (17.8) видно, что минимальный риск = 2,6 тыс. изделий. Это риск недобора этих изделий при наличии запаса сырья на складе.

Строим матрицу выручки В:

N / Рсп
0,1		0,6	0,2	-0,2	-0,6
0,2		2,4	1,6	0,8
0,3		3,6	4,2		1,8
0,3		3,6	4,2	4,8	3,6
0,1		1,8	1,4	1,6	1,8

Матрица выручки находится путем умножения вектора столбца (Рсп) на матрицу доходов.

Вероят. = Рсп*Д (17.9)

Рассчитаем суммарную выручку по каждому столбцу:

∑в = 10; 11,4; 11,6; 10; 6,6

Суммарная выручка будет максимальна при запасах сырья на складе не менее, чем на изготовление 14 тыс. изделий. Максимальная выручка В = 11,6 тыс. от реализации может быть обеспечена с минимальным риском отклонений от этой выручки на 2,6 тыс.

Лекция 18 Методы массового обслуживания и сетевого планирования в УР.

Метод массового обслуживания предназначен для выбора очередности выполнения заказов с учетом их приоритетности и доходности. Используется во всех сферах человеческой деятельности, где имеют место очереди, формируемые случайно. Случайность формирования очереди в этом методе задается моделью в виде плотности распределения вероятностей Пуассона.

Например: массовое обслуживание в процессах купли – продажи недвижимости сводится к очередности выполнения заявок на продажу жилой площади, исходя из критерия максимизации их количества.

Задачи массового обслуживания:

а) задача «поток работ – ресурсы» (критерий – какой-либо показатель качества использования ресурсов; непрерывность и равномерность использования, минимизация и др.);

б) задача запаса (минимизируются суммарные затраты на хранение материалов).

Выбор и обоснование метода оптимизации процесса обслуживания клиентов.

Основные положения теории массового обслуживания.

В науке, практической деятельности людей и в быту каждодневно создаются такие положения, когда возникает массовый спрос на обслуживание какого-либо специального вида, причем обслуживающая организация, располагая лишь ограниченным числом обслуживающих единиц, не всегда способна немедленно удовлетворять все поступающие заявки. Примеры такой ситуации хорошо известны каждому. Очереди у магазинных и билетных касс, в буфетах, парикмахерских и т.д.; невозможность получить билет на нужный поезд из-за его переполнения; задержка в посадке самолетов, вызываемая отсутствием свободных посадочных площадок; задержка в ремонте потерпевших аварию станков из-за нехватки ремонтных бригад - все эти и многие другие аналогичные, хорошо известные примеры, несмотря на существенные различия их реального содержания, с формальной стороны очень близки друг другу. Во всех подобных случаях перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих единиц и качеством обслуживания. При этом качество обслуживания в различных случаях, естественно, измеряется различными показателями. Большей частью таким показателем служит либо процент заявок, получающих отказ (процент пассажиров, не получивших билетов на данный поезд), либо среднее время ожидания начала обслуживания (очереди различного рода). Разумеется, качество обслуживания во всех случаях тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Однако столь же очевидно, что чрезмерный рост этого числа сопряжен с излишним расходом сил и материальных средств. Чтобы избежать потерь материальных средств, устанавливают необходимый уровень качества обслуживания. Затем находят минимальное число обслуживающих единиц, при котором можно обеспечить этот уровень.

В задачах подобного рода почти всегда приходится учитывать влияние случайного элемента на течение изучаемого явления. Количество поступающих заявок не является, как правило, постоянным, а испытывает случайные колебания. Время обслуживания заявок в большинстве задач не является стандартным, а подвержено случайным колебаниям от одной заявки к другой. Все эти элементы случайности отнюдь не имеют характера небольших "возмущений", нарушающих собой плавный и закономерный ход явления; напротив, они составляют собой основную черту в картине изучаемых процессов. Естественно поэтому, что математическим инструментом теории массового обслуживания должны стать понятия и методы теории вероятностей -математической дисциплины, посвященной изучению закономерностей случая.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ - раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Типичный пример такой системы - автоматическая телефонная станция, где случайным образом поступают "требования" - вызовы абонентов, а "обслуживание" состоит в соединении их с др. абонентами.

Теория массового обслуживания, математическая дисциплина, изучающая системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера (случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание). Типичным объектом теории массового обслуживания, могут служить автоматические телефонные станции, на которые случайным образом поступают «требования» — вызовы абонентов, а «обслуживание» состоит:

в соединении абонентов с другими абонентами;

поддержании связи во время разговора и т. д.

Целью развиваемых в теории массового обслуживания методов является, в конечном счёте, определение разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество. С этой точки зрения теорию массового обслуживания рассматривают как часть операций исследования. Теория массового обслуживания широко использует аппарат теории вероятностей и (в меньшей степени) математической статистики. Задачи теории массового обслуживания, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания (наличие отказов или очередей и т. п., см. также Очередей теория), Теория массового обслуживания определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.). В ряде более простых случаев это определение возможно аналитическими методами, в более сложных случаях приходится прибегать к моделированию соответствующих случайных процессов по Монте-Карло методу.

Пример. Предположим, что автоматическая линия связи имеет n одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все n каналов линии связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется. В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся, вообще говоря, случайное время.

Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи является отношения _T/N_T числа _T вызовов, потерянных в течение времени Т, к общему числу N_T вызовов, поступивших за это время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.

Другим, не менее естественным, показателем качества работы линии связи может служить отношения _Т/Т, где _Т — суммарное время, в течение которого за период Т все n каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно назвать вероятностью занятости. Обозначим X(t) число каналов, занятых в момент t. Тогда, можно показать, что:

моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий;

2) если длительности разговоров последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределённые случайные величины, то 0, обладает эргодическим распределением, то естьслучайный процесс X(t), t существуют [не зависящие от начального распределения Х(0)] пределы

причём

(*)

— произведение интенсивности потока поступленийгде вызовов на среднюю длительность разговора отдельного абонента. Кроме того, в этом случае р = р*, и их общее значение равно p_n. Формулы (*) используются для расчёта минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. Эти формулы называются Эрланга формулами. Следует добавить, что при отказе от условия 1) равенство р = р* может не выполняться.

Основные формализованные зависимости обслуживания клиентов.

Известно [ ], что вероятность того, что в любой момент времени все каналы обслуживающие клиента из очереди окажутся свободными

1) Рс = (22.1)

где К – количество каналов занятых (операторов)

n – общее количество каналов (операторов)

а - t_о

- среднеожидаемое количество заявок на обслуживание в ед. времени (плотность потока заявок)

t_о - среднее время обслуживания 1 заявки

2) Среднеожидаемое число свободных каналов

Nс = (22.2)

Где Р_n - вероятность того, что все каналы будут заняты

Р_n = Рс (22.3)

3) Вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся заняты

Р₃ = Рс (22.4)

4) Среднеожидаемое число занятых каналов

N_з = р_к (22.5)

5) Коэффициент простоя каналов К_n =

6) Доля загрузки каналов (за время обслуживания)

К_зак = (22.6)

7) Вероятность того, что К каналов заняты

Р_к = (22.7)

Задача на примере ОАО «ЦентрТелеком».

ОАО «ЦентрТелеком» принимает от граждан заявки на оплату телефонных счетов, прием телеграмм, на вызовы абонентов других городов и стран.

Среднеожидаемое количество заявок на обслуживание составляет 1 вызов в 2 минуты, средняя продолжительность приема заявки t₀ = 2 мин.

Определить какое количество операторов должно работать на приеме заявок на обслуживание, что бы обеспечить вероятность приема каждой заявки более Р=0,98.

Решение.

1) из условий задачи следует, что средне ожидаемое количество заявок на прием счетов, телеграмм =0,5 заявки в минуту.

2) по формуле (22.а) определяет а

а= * t₀=0,5*2=1 заявка.

3) из условий задачи следует, что вероятность того, что заявка не будет принята из-за занятости оператора, должна быть не более 0,02.

Р_n=1-0,98=0,02.

4) по формуле (22.3) расчетаем для различных значений К=n, начиная с 1 интересующей нас вероятность того, что К=n операторов заняты для n=к=1

Р_n= =0,5

Не приемлемо т.к. Р_n=0,5 0,02 для n=к=2

Р_n=

Не приемлемо, т.к. Р_n=0,2 0,02 для n=k=3

Р_n=

Не приемлемо, т.к. Р_n=0,0625 0,02 для n=k=4

P_n=

Следовательно, требуется 4 оператора.

В ряде практических задач, связанных с выполнением комплекса работ, имеют место большое количество потребителей, которые выставляют свои “требования”, заявки, операции при наличии ограничений на порядок их выполнения длительности выделенного ресурса и т. п. со стороны исполнителя. Например, телефония, строительные работы, задачи с очередями и т.п. решаются методами теории обслуживания и сетевого планирования. В теории массового обслуживания рассматриваются задачи по назначению приоритета в обслуживании или поступающих заявок. В основу теории, в силу ее принципиальных статистических особенностей, положен закон Пуассона.

Примечание.

При обслуживании заявок имеют место сбои в обслуживающей системе. Способ устранения сбоев, их учета и построения надежных систем вытекает из теории массового обслуживания и определяет теорию надежности.

Частным случаем теории массового обслуживания является теория расписаний. Ее основным предметом являются методы установления порядка выполнения большого количества однородных работ. Частным случаем теории расписаний, когда работы разнородные, является сетевое планирование.

Методы решения задач планирования производства работ