Сила роста

Если в формуле (1,19), определяющей наращенную сумму при использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов в году будет увеличиваться. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.

Сила роста называется постоянной, если она не изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста δ:

S =

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов:

S = P (1.22)

δ = -1 (1.23)

По формулам (1,23) можно, в частности, зная дискретные ставки ценных бумаг, расcчитывать силу роста этих бумаг.

♦Пример 1.19

Определить силу роста и наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислении, если на сумму 3000 руб. начисляются проценты по сложной годовой ставке i = 22% в течении 3,5 лет.

Решение:

δ = ln(I+i) = lnl,22 = 0,19885984, или 19,885%

Наращенная сумма при непрерывном начислении:

S=P =3000 =6017,08 руб.

Наращенная сумма при дискретном начислении:

S=P( =3000( =6017,08 руб.

Таким образом, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали.

Если считать,что переменная сила роста изменяется во времени ( =f(t), то наращенная сумма и современная стоимость определяются соотношениями:

S=P exp( dt),P=S exp(- dt).

Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и по экспоненте.

♦Пример 1.20

Определить современную стоимость суммы 5000 руб., выплачиваемой через 2,8 года, при линейном изменении силы роста, когда начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста а = 0,1

Решение:

P=Sexp (-( n+ ))=5000(exp(-(0,12 2,8+ =2414,368.

♦ Пример 1.21

На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой – под 9,75% годовых. Что выгоднее – положить свободные денежные средства на годовой депозит, или два 100 тыс.$ и одним потерянным днём при переоформлении депозита можно пренебречь?

Решение:

Если денежные средства положить на годовой депозит, то наращённая сумма:

S=100 1,1 = 110 тыс.$.

Если два раза воспользоваться полугодовым депозитом, то наращённая сумма:

= 109,98766тыс.$.

Выгоднее воспользоваться годовым депозитом и выигрыш

=12,34 $.

♦Пример 1.22

На сумму долга в течении 4 лет начисляются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращённая сумма, если проценты будут капитализироваться поквартально?

Решение:

При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен , а при ежеквартальной капитализации - , т.е он будет больше в 1,01136 раза.

Наращённая сумма увеличится на 1,136%.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Рассмотрим методы определения срока ссуды и величины процентной ствки для номинальной ставки и для линейного изменения силы роста.

Из формулы (1.17) находим:

J=m . (1.25)

♦Пример 1.23

За какой срок суммы,равная 20 000руб.,достигнет 40 000руб. при начислении по сложной процентной ставке 19% годовых?Рассмотреть случаи помесячного начисления процентов один раз в год.

Решение:

J=m . (1.26)

При начислении процентов раз в году формула приобретает вид:

n= = = 3,98 года.

Таким образом,срок ссуды при начислении раз в году больше срока ссуды при помесячном начислении.

♦Пример 1.24

Финансовый инструмент куплен за 50 000 руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 70 000руб., проценты начисляются один раз в месяц. Определить доходность операции в виде номинальной ставки и годовой ставки сложных процентов.

Находим номинальную процентную ставку по формуле (1.26):

J=m =0,188393, или 18,84%

Определяем доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов, используя соотношение:

I= )-1=( -1=0,2055,или 20,55%

Определение срока платежей и силы роста при остальных известных параметрах для случая непрерывного начисления процентов рассмотрим на примере линейного изменения силы роста от времени. Преобразуя формулу (1.24) можно определить искомые величины:

n= , (1.27)

Знак «плюс» перед корнем выбран из-за условия n>0

♦Пример 1.25

За какой срок сумма, равная 44000 руб., достигнет 100 000 руб. при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по линейному закону, начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста a=0,1.

Решение:

n= = = 3,026 года.

♦Пример 1.26

Определить начальное значение силы роста при её линейном изменении во времени, если долг за 2,5 года увеличится с 16 000руб. до 30 000 руб. при приросте силы роста a=-0,1.

Решение:

= = 0,3764, или 37,64%

♦Пример 1.27

Через сколько лет первоначальная сумма депозита возрастёт в два раза,если на вложенные средства начисляется 9,75% годовых и:а)используются простые проценты, б)сложные проценты с полугодовой капитализацией?

Решение:

Для простых процентов множитель наращения

1+n =2,

т.е. n=10,256 года. При использовании сложных процентов множитель наращения:

=2

т.е n= :(2 )=7,281 года.

♦Пример 1.28

По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2% годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на месячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело бы к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита,если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов(k=360)?

Решение:

Прировняем соответствующие множители наращения:

1+ =

Отсюда получаем, что i= 0,101145≈10,11%