Варіант № 4. 1. Довести, що при будь-якому цілому х число х5 – х ділиться на 30 (трьома способами)

1. Довести, що при будь-якому цілому х число х⁵ – х ділиться на 30 (трьома способами).

2. Доведіть, що якщо a = cd + r і b = cq + n, де a, b, c, d, q, r, n Є Z₊, то (a, b, c,) = (r, n, c). за отриманим правилом знайдіть (299,391,667) і (588,2058,2849).

3. Знайти значення простого числа р, якщо відомо, що 4р² + 1 і 6р² + 1 також прості числа.

4. Якщо р = 2^k+l – 1 і n = 2^k (2 ^k+1 – 1), то n - досконале число, тобто . Довести.

5. Хтось купив 30 птахів за 30 монет. За кожних 3 горобців було заплачено 1 монету, за кожних двох горлиць також 1 монету і за кожного голуба – по дві монети. Скільки куплено птахів кожного виду?

6. Довести, що кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

7. Нехай G - циклічна група 4-го порядку і F - циклічна група 3-го порядку. Знайти порядок групи , що є прямим добутком даних груп. Чи буде група циклічною?

8. Нехай у множині W виразів , де , введено операції додавання і множення:

Довести, що W - комутативне кільце з одиницею і знайти всі дільники нуля (множина W називається множиною дуальних чисел).

9. Довести, що в довільному кільці К для будь-якого ідеалу І:

1)

2) , причому К*І = І, якщо К - кільце з одиницею.

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 5 - 5 і та 7 - і.

11. Довести, що якщо аºb(mod p), то a^p ºb^p (mod p²), де p - просте число.

12. Знайдіть остачу від ділення числа 93⁴¹ на 111;

13. Застосовуючи теорему Ейлера, розв'язати конгруенцію 2хº13(mod 15).

14. При яких значеннях а система сумісна:

15. Розв'язати конгруенцію 6х¹³-3х¹²-2х¹¹-6х³+3х²+7х+2º0(mod11).

16. Розв'язати конгруенцію x⁵-2x³+5x-2º0 (mod 18).

17. Розв'язати рівняння в цілих числах.

18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію 3*8^x º7 (mod 23).

19. Знайти ознаки подільності на 3, 5 для вісімкової системи числення.

20. Чи будуть елементи дільниками нуля одиниці в кільці ? Обчислити .