Варіант № 5

1. Довести, що при будь-якому цілому х число 2х⁶ – х⁴ – х² + 36 ділиться на 36 (трьома способами).

2. Доведіть, що алгебраїчна сума нескоротних дробів, знаменники яких попарно прості, не може бути цілим числом.

3. Довести, що непарні числа виду 6n + 1 не можна представити як різницю простих чисел.

4. Знайти число n, добуток всіх дільників якого дорівнює 4001504141376.

5. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив – 6, жінка – 4, а дівчина – 2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат?

6. У множині визначено операцію *: . Довести, що алгебра є групою.

7. Довести, що коли е - одиниця і а - елемент порядку n групи G, то тоді і тільки тоді, коли k ділиться на n.

8. Довести, що в області цілісності К відношення асоційованості є бінарним відношенням еквівалентності.

9. Нехай j - відображення кільця цілих чисел на кільце класів лишків , причому

Довести, що j - гомоморфізм, і знайти його ядро.

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 11 - 3 і та 3 + 7 і.

11. Довести, що (3+a)^p º3^p +a^p (mod p), де p - просте число.

12. Знайти остачу від ділення числа на .

13. Розв’язати конгруенцію .

14. Розв’язати конгруенцію, використовуючи перетворення її у систему 5хº13(mod84).

15. Розв’язати конгруенцію x⁹+x⁷-x³+4x+1º0 (mod 21).

16. Розв’язати конгруенцію x⁴-4x³+2x²+x+6º0 (mod 25).

17. Чи може при цілому х число дорівнювати квадрату цілого числа 79x+2.

18. Скласти таблиці індексів за модулями: 13; 23.

19. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію 32^x º15 (mod 37).

20. Знайти остачу від ділення на .