Варіант № 3. 1. Довести, що при будь-якому цілому х число х4 + 6х3 + 11х2 +6х ділиться на 24 (трьома способами)

1. Довести, що при будь-якому цілому х число х⁴ + 6х³ + 11х² +6х ділиться на 24 (трьома способами).

2. Довести, що якщо (a, b) = 1, то (a², a+b) = 1.

3. Доведіть, що квадрат числа n = 3m + 2, mÎZ не може бути представлений у вигляді суми квадрату натурального числа і простого числа в 1-му степені.

4. Довести, що добуток всіх дільників числа n дорівнює .

5. Довести, що дріб: нескоротний.

6. Знайти всі підгрупи групи S₃ і виділити з них циклічні.

7. Довести, що множина всіх парних підстановок n-го степеня є групою відносно операції множення (знакозмінна група n-го степеня).

8. Довести, що

1) усі елементи виду є дільниками нуля в кільці К, якщо а - дільник нуля, а b - довільний елемент кільця К;

2) в кільці ;

3) в кільці ;

9. Побудувати фактор-кільце кільця за його ідеалом . Скласти для елементів фактор-кільця таблиці додавання і множення. Знайти дільники нуля і обернені елементи.

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 8 + 12 і та 10 + 4 і.

11. Довести, що якщо 50a-b+60cº0(mod398), то a-4b+41cº0(mod199).

12. Знайдіть остачу від ділення числа 109³⁴⁵ на 14.

13. Розв'язати конгруенцію за допомогою скінчених неперервних дробів 97хº53(mod 169).

14. З правої сторони до числа 428 дописати такі дві цифри, щоб знайдене число ділилося на 8, 7, 3.

15. Розв'язати конгруенцію 3х⁹+х⁸+2х⁷-3х³+2х-5º0(mod7).

16. Розв'язати конгруенцію x⁵-x⁴+2x³-x²+5x-2≡0 (mod 12).

17. Довести, що 32 є квадратичним лишком за простим модулем р=8к+3.

18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію: 17*13^3x +27º0 (mod 29).

19. Довести, що число, записане в системі числення з основою g, ділиться на g-1 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на g-1.

20. Чи будуть дільниками нуля, одиниці в фактор-кільці ? Чи буде полем?