Аналитические методы

Рассмотрим два из них.

Метод последовательных приближений. Представим в уравнении (1) в виде отношения дифференциалов , тогда

Далее, интегрируя обе части полученного соотношения на промежутке [ x₀, x ] получаем

или

(3)

Соотношение (3) представляет собой интегральное уравнение, эквивалентное задаче (1), (2). На его основе строится следующий вычислительный процесс

(4)

где , который и называется методом последовательных приближений. При определенных условиях последовательность функции сходится к точному решению задачи (1), (2). А именно,

Пусть в прямоугольнике выполнены условия теоремы существования и единственности и . Тогда в промежутке , где последовательность (4) сходится к точному решению. Причем справедлива следующая оценка

где .

Для иллюстрации этого метода рассмотрим следующий

Пример. Найти решение задачи Коши

, .

Найти два первых приближения к решению, оценить погрешность.

Решение. Возьмем в качестве области квадрат [-1, 1; -1, 1]. Здесь , , . Тогда

т.е. М=2,

т.е. N=2,

Погрешность n -го приближения

отсюда погрешность второго,- .

Найдем приближения Полагая, что , из (4) имеем

т.е. .

Тогда

т.е.

Замечание. В том случае, когда дана погрешность приближенного решения число итераций, т.е. последовательных приближений, можно найти, потребовав

Так, например, в рассмотренном примере

откуда и значение устанавливается последовательным перебором.

Метод рядов Тейлора. В этом случае решение задачи (1), (2) ищется в виде ряда

Значения производных, необходимых для построения решения находятся путем последовательного дифференцирования уравнения (1). Так, непосредственно из него следует

Далее,

тогда

и т.д.

Очевидно, что данная процедура позволяет получить решение со сколь угодно высокой точностью лишь в том случае, когда функция является бесконечно дифференцируемой в точке В противном случае данный метод может быть вообще неприменим. См., например, задачу