Напомним основные положения теории рядов Фурье.
Пусть имеется некоторая функция , заданная на промежутке и рассматривается бесконечная система функций
.
Ставится задача о представлении данной функции в виде тригонометрического ряда
(1)
Такое представление при определенных условиях возможно и его коэффициенты вычисляются по следующим формулам
(2)
Тригонометрический ряд (1) с коэффициентами (2) называется рядом Фурье функции .
Справедлива следующая теорема о разложимости (т. Дирихле):
Если кусочно-монотонная функция и имеет не более, чем конечное число точек разрыва первого рода, то ее ряд Фурье (1), (2) сходится к значению в точках ее непрерывности и к среднему арифметическому ее односторонних пределов в точках разрыва.
Так, например, если точка разрыва , то сумма ряда Фурье в этой точке равна
- (Рисунок 1),
где
, .
Рисунок 1. Пояснения к теореме Дирихле
Т.о. за исключением, быть может, конечного числа точек сумма ряда Фурье (1), (2) равна .
Замечание 1. В точках ряд Фурье сходится к среднему арифметическому правого и левого пределов функции в точках соответственно.
Обратим внимание на особенности разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Если четная на отрезке , то , также четная, а , - нечетная. Поэтому коэффициенты
и разложение (1) принимает вид
Если же функция нечетная, то также нечетная, а , - четная.
Поэтому
,
и разложение (1) принимает вид
Замечание 2. Выражение в разложении (1), вводя вспомогательный угол, можно представить в виде , где и ряд в целом
Тогда слагаемые называются гармоническими составляющими или гармониками, коэффициенты - амплитудами гармоник, частотами, - начальными фазами. Иногда гармоника называется основной, гармоники , - побочными.
Замечание 3. Иногда тригонометрические разложения заданной функции строятся на промежутке . В этом случае рассматривается система тригонометрических функций
1, ,
и разложение имеет вид
(3)
где
(4)
.
Теорема Дирихле для промежутка формулируется соответственно аналогичным образом.