Её свойства

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближённого значения неизвестной генеральной характеристики, называется её точечной статистической оценкой.

Среднее арифметическое - это точечная статистическая оценка математического ожидания М(Х); D*(X)– оценка дисперсии D(X).

«Точечная» означает, что оценка представляет собой число или точку на числовой оси. «Статистическая» означает, что оценка рассчитывается по результатам наблюдений, т.е. по собранной исследователем статистике. Далее слово «статистическая» будет опускаться.

Обозначим через Θ («тэта») некоторую генеральную характеристику (ею может быть и МХ, и любая другая числовая характеристика случайной величины Х). Её числовое значение неизвестно, однако предложен некоторый алгоритм или формула вычисления точечной оценки Θ ₍_n₎ этой характеристики по результатам Х ₁, Х ₂, …, Х_n наблюдений величины Х. Обозначая буквой f этот алгоритм, запишем

Θ* ₍_n₎ = f (Х ₁, Х ₂, …, Х_n). (3)

Подставив в (3) вместо Х₁, Х₂, …, Х_n конкретные результаты наблюдений (конкретные числа), получим число, которое и принимают за приближённое значение неизвестной генеральной характеристики Θ. Найти погрешность этого приближения нельзя, поскольку числовое значение характеристики Θ неизвестно. Чтобы ответить на вопрос, хорошо или нет найденное приближение, рассмотрим оценку Θ* ₍_n₎ с других позиций.

Пусть в формуле (3) Х₁, Х₂, …, Х_n – не конкретные числа, а лишь обозначения тех результатов наблюдений, которые мы хотели бы получить. Но результат каждого отдельного наблюдения случайной величины случаен, т.е. Х₁, Х₂, …, Х_n– это случайные величины, поэтому и оценка Θ* ₍_n₎ также величина случайная; следовательно, можно говорить о её математическом ожидании (М(Θ*₍_n₎)), дисперсии (D(Θ*₍_n₎)) и законе распределения. Интерпретация оценки Θ*₍_n₎ как случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми должна была обладать оценка, чтобы её можно было считать хорошим приближением к неизвестной генеральной характеристике. Это свойства состоятельности, несмещённости и эффективности.

Оценка Θ* ₍_n₎ генеральной характеристики Θ называется состоятельной, если для любого ε>0 выполняется равенство

( <ε)=1. (4)

Поясним смысл равенства (4). Пусть ε – очень малое положительное число. Тогда равенство (4) означает, что чем больше число наблюдений n, тем больше уверенность (вероятность) в незначительном по абсолютной величине отклонении оценки Θ* ₍_n₎ от неизвестной характеристики Θ или короче: чем больше объём исходной информации, тем «ближе мы к истине». Если это так, то Θ* ₍_n₎ – состоятельная оценка.

«Хорошая» оценка обязательно должна обладать свойством состоятельности. В противном случае оценка не имеет практического смысла: увеличение объёма исходной информации не будет «приближать нас к истине». Поэтому свойство состоятельности следует проверять в первую очередь.

Оценка Θ* ₍_n₎ генеральной характеристики Θ называется несмещённой, если для любого фиксированного числа наблюдений n выполняется равенство

М (Θ*₍_n₎)=Θ, (5)

т.е. математическое ожидание оценки равно неизвестной характеристике.

Несмещённая оценка Θ* ₍_n₎ характеристики Θ называется несмещённой эффективной, если она среди всех прочих несмещённых оценок той же самой характеристики обладает наименьшей дисперсией.

Метод нахождения оценки неизвестного параметра, основанный на требовании максимизации функции правдоподобия, называется методом максимального правдоподобия, а найденная этим методом оценка – оценкой максимального правдоподобия.

Функции L и lnL, рассматриваемые как функции параметра λ, достигают максимума при одном и том же значении λ, т.к. lnL – монотонно возрастающая функция. Поэтому вместо отыскания максимума функции L находят (что удобнее) максимум функции lnL. Функция lnL называется логарифмической функцией правдоподобия.

Для L (X ₁, X ₂, … X _n; λ)= логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

lnL (X ₁, X ₂, … X _n; λ) = ln = lnλ – nλ – ln(X ₁!) – ln(X ₂!) - … - - -ln(X _n!).

Найдём точку максимума этой функции, рассматривая её как функцию параметра λ. Для этого:

найдём производную функции ln L по λ:

;

приравняв производную нулю, определим критическую точку – корень полученного уравнения – уравнения правдоподобия:

найдём вторую производную функции ln L и её значение в точке λ_кр:

Итак, всегда λ_кр= - это точка максимума функции ln L (или L), поэтому она и является оценкой λ_мп максимального правдоподобия для неизвестного параметра λ, т.е.