Понятие об интервальной оценке числовой характеристики случайной величины. Доверительные интервалы, доверительные вероятности

Вычисляя на основании результатов наблюдений точечную характеристику Θ* неизвестной числовой характеристики Θ, мы понимаем, что величина Θ* является лишь приближённым значением характеристики Θ. Если для большого числа наблюдений точность приближения бывает достаточной для практических выводов (в силу несмещённости, состоятельности и эффективности «хороших» оценок), то для выборок небольшого объёма вопрос о точности оценок очень важен. В математической статистике он решается следующим образом. По сделанной выборке находится точечная оценка Θ* неизвестной характеристики Θ, затем задаются вероятностью γ и по определённым правилам находят такое число ε>0, чтобы выполнялось соотношение

Р (Θ*-ε < Θ < Θ*+ε) = γ. (8)

Соотношению (8) тождественно соотношению

Р ( < ε) = γ, (9)

из которого видно, что абсолютная погрешность оценки Θ не превосходит числа ε. Это верно с вероятностью, равной γ. Число ε называется точностью оценки Θ* (чем меньше ε, тем выше точность оценки), числа Θ₁ и Θ₂ называются доверительными границами, интервал (Θ₁, Θ₂) – доверительным интервалом или интервальной оценкой характеристики Θ, вероятность γ называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки.

В соотношении (8) случайными величинами являются доверительные границы Θ₁ и Θ₂: во-первых, эти границы могут изменяться при переходе от одной выборки к другой хотя бы потому, что при этом изменяется значение оценки Θ*; во-вторых, при фиксированной выборке границы Θ₁ и Θ₂ изменяются при изменении вероятности γ, поскольку ε выбирается в зависимости от γ. Генеральная же характеристики Θ – постоянная величина. Поэтому соотношение (8) следует читать так: «вероятность того, что интервал (Θ₁, Θ₂) накроет характеристику Θ, равна γ»; именно «интервал накроет характеристику», а не «характеристика попадёт в интервал».

Надёжность γ принято выбирать равной 0,95; 0,99; 0,999. Тогда событие, состоящее в том, что интервал (Θ₁, Θ₂) накроет характеристику Θ, будет практически достоверным. Также практически достоверным является событие, состоящее в том, что погрешность оценки Θ* меньше ε, или, иначе, точность оценки Θ* больше ε.

В соотношении (8) границы Θ₁ и Θ₂ симметричны относительно точечной оценки Θ*. Обратим внимание на то, что не всегда удаётся построить границы с таким свойством.

Поскольку довольно часто встречаются нормально распределённые случайные величины, построим интервальные оценки для параметров нормального распределения – математического ожидания а и среднего квадратического отклонения σ.