Смысл выборочного коэффициента корреляции, его значимость

Располагая результатами (Х_i, У_i,) п наблюдений величины (X, Y)мы, используя метод наименьших квадратов, получили линейное уравнение регрессии

(71)

Приравняв X=x_i, получим

(72)

Вычислим средний квадрат отклонения наблюдаемых «игреков» ( _i) от «игреков» ( _i), рассчитанных по уравнению регрессии:

Средней квадратической погрешностью или ошибкой урав­нения регрессии называется величина

(73)

Заменяя наблюдаемые значения , мы совершаем ошибку

Заменяя , мы совершаем ошибку

Таким образом, отношение σ_y/σ^лин_о показывает, во сколько раз погрешность модели Y_i≈ _i меньше погрешности модели Y_i≈Y.

Введем также величину

где

которая называется выборочной дисперсией «игреков», рассчитанных по уравнению регрессии(71). Докажем следующее тождество:

(74)

Найдем более простое выражение для

Убедимся сначала, что . Действительно,

поэтому

или

Итак,

. (75)

Найдем теперь более простое выражение для . Имеем

Итак,

. (76)

Сложив (75) и (76), получим

Из соотношения (75) имеем

(77)

(так как , то ).

Таким образом, показывает, какую долю выборочной дисперсии σ²_y«игреков» составляет выборочная дисперсия σ^2лин_y«игреков», вычисленных по линейному уравнению регрессии, или, иначе говоря, какая доля выборочной дисперсии σ²_y объяс­няется линейной в среднем зависимостью «игреков» от «иксов».