Упражнения для выполнения

1) Составьте все упорядоченные пары из элементов множества .

2) Напишите такие упорядоченные пары элементов множества , в которых первый элемент больше второго.

3) Изобразите при помощи графа пары .

4) Дан граф для бинарного отношения (см. Рисунок 2), заданного на множестве , , если х делится на y:

Рисунок 2. Пример графа

Проверьте, все ли упорядоченные пары отмечены на графе для бинарного отношения .

5) Равны ли следующие упорядоченные пары:

а) < a, { a, b, c }, b, c > и < a, { a, b, c }, { b, c } >;

б) < a, { a, b, c }, b, c > и < a, { a, b, c }, b, c >;

в) < a, { a, b, c }, b, c > и < a, { a, b, c }, с, b >;

г) < a, { a, b, c }, b, c > и < a, { a, b, c }, a, b, c >.

6) Пусть , . Выпишите все элементы декартова произведения множеств:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7) Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составьте все двухзначные числа. Как связано получившееся множество с декартовым произведением , где ?

8) Известно, что

.

Найдите множества Х и А.

9) Дано множество .

а) запишите все элементы декартового произведения множества ;

б) изобразите с помощью графа те упорядоченные пары множества , в которых:

- первый элемент больше второго;

- первый элемент меньше второго;

- первый элемент меньше или равен второму;

- первый элемент равен второму.

10) Запишите в виде прямоугольных таблиц все элементы декартового произведения , где

а) , ;

б) , ;

в) , .

Какой можно сделать вывод о количестве элементов декартового произведения ?

11) Сколько элементов в декартовом произведении , если:

а) , ;

б) , ;

в) , .

12) Изобразите графически на плоскости бинарное отношение на множестве .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

13) На Рисунок 3 изображены графы отношений и . Запишите эти отношения и и им обратные.

Рисунок 3. Графы отношений и

14) На множестве всех людей заданы отношения «быть сыном», «быть братом», «быть матерью», «быть другом». Назовите обратные им отношения.

15) Если , запишите бинарное отношение .

16) Даны множества и . На множестве заданы бинарные отношения и .

а) , если ;

б) , если а делится на b.

Запишите все упорядоченные пары, которые принадлежат бинарному отношению и .

17) Дано множество . Бинарное отношение задано следующим образом:

Рисунок 4. Пример изображения упорядоченных пар не координатной плоскости

Выяснить свойства отношения .

18) Пусть и , если .

Рисунок 5. Пример изображения упорядоченных пар не координатной плоскости

а) проверить все ли упорядоченные пары отмечены на координатной плоскости;

б) выяснить свойства отношения . Какой вывод можно сделать в случае выполнения свойства бинарного отношения.

19) Дано множество . На множестве задано бинарное отношение :

а) изобразите упорядоченные пары с использованием графа;

б) какие свойства выполняются у бинарного отношения ;

в) как видно по графу выполнимость свойств бинарного отношения. Сформулируйте, как отображается каждое свойство бинарного отношения на графе.

20) Даны графы бинарных отношений:

а) какие из отношений рефлексивны и почему?;

Рисунок 6. Примеры граф

б) какие из отношений симметричны и почему?;

Рисунок 7. Примеры граф

в) какие из отношений транзитивны и почему?;

Рисунок 8. Примеры граф

г) какие из отношений антисимметричны и почему?;

Рисунок 9. Примеры граф

21) Дано множество . На множестве заданы бинарные отношения и .

а) , если ;

б) , если .

Запишите все упорядоченные пары, которые принадлежат бинарным отношениям и . Выясните свойства бинарных отношений.

22) Пусть . На множестве задано бинарное отношение .

Выпишите все пары, принадлежащие бинарному отношению и выясните, каким свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение.

23) Исследуйте на свойства бинарное отношение на множестве (в случае невыполнения свойства привести пример).

а) М – множество натуральных чисел, , если х делится на у;

б) М – множество прямых на плоскости, , если прямая а перпендикулярна прямой b;

в) М – совокупность множеств, , если Ø.

24) Пусть Х – множество людей. На задано бинарное отношение : , если х является матерью у. Известно, что и . Верно ли утверждение: ?

25) Пусть Х – множество людей. На задано бинарное отношение : , если х и у знакомы. Будет ли транзитивно?

26) Пусть Х – множество студентов юридического факультета ЧИ БГУЭП. На задано бинарное отношение : , если х и у учатся на одном курсе. Выясните свойства бинарного отношения .

27) Исследовать бинарные отношения на множестве людей:

а) «быть братом»;

б) «любить»;

в) «быть отцом»;

г) «быть подчиненным»;

д) «быть в одной команде».

28) Проверить обладает ли бинарное отношение на множестве бинарными свойствами:

а) x y, если х делится на у;

б) x y, если делится на 4;

в) x y, если ;

г) x y, если ;

д) x y, если .

29) Дано множество . Доказать, что следующие отношения есть отношения эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X:

а) x y, если ;

б) x y, если делится на 2.

30) Доказать, что следующие отношения есть отношения частичного порядка, и построить диаграммы частично упорядоченных множеств:

а) отношение на множестве-степени множества ;

б) отношение на множестве : x y, если y делится на x.

31) Являются ли следующие отношения функциями:

а) ;

б) ;

в) .

32) Задано бинарное отношение = {<2, 2>, <2, 4>, <1, 4>, <4, 1>, <4, 2>}.Найдите область определения, область значения и ^-1.

33) Найдите композиции и и укажите область определения и область значения:

а) , ;

б) , ;

в) , .

34) Заполните пустые ячейки в таблице:

Дано	Связь	Результат
< a, { a, b, c }, b, c >		< a, { a, b, c }, с, b >
бинарное отношение на множестве
бинарное отношение на некотором множестве
бинарное отношение на некотором множестве

[1] При выполнении композиции вначале выполняется внутреннее бинарное отношение, после чего – внешнее.