Пример 7. Проверим выполняются ли свойства у бинарного отношения r заданного на множестве , если известно, что xry тогда и только тогда

Проверим выполняются ли свойства у бинарного отношения r заданного на множестве , если известно, что xry тогда и только тогда, когда .

Таким образом, .

1) Рефлексивность: для любого x Î X выполняется xrx

для любого x Î X выполняется , значит рефлексивность выполняется.

2) Симметричность: для любых x, y Î X из xry следует yr x

для любых x, y Î X из следует , так как умножение чисел коммутативно, значит симметричность выполняется.

3) Транзитивность: для любых x, y, z Î X из xry и yrz следует xrz

так как x, y, z Î X и выполняются неравенства и , значит x, y, z – это числа либо одновременно отрицательные, а произведение отрицательных чисел всегда больше нуля, либо одновременно неотрицательные, тогда выполняется неравенство , значит свойство транзитивности выполняется.

4) Так как выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, то бинарное отношение r обладает свойством эквивалентности.

Класс эквивалентности порожденный -4, состоит из чисел -4, -3, -2: , , , т.е .

Ясно, что этот же класс порождается -3 и -2: .

Класс эквивалентности порожденный 1, состоит из 1, 2, 3: , , , т.е. .

Ясно, что этот же класс порождается 2 и 3: .

Таким образом, это бинарное отношение r «быть одного знака». Множество X можно разбить на два класса – отрицательные и положительные числа.

5) Антисимметричность: для любых x, y Î X из xry и yrx следует x=y.

существуют такие х и у, что если и ,то при этом , например, и , но при этом , значит свойство антисимметричности не выполняется.

6) Так как выполняются свойства рефлексивности и транзитивности, но не выполняется свойство антисимметричности, то бинарное отношение r не обладает свойством частичного порядка.