Из уравнения равновесия

S y = 0 получим:

N ₉₇sina = 0, откуда N ₉₇ = 0.

Запишем второе уравнение равновесия:

S x = 0, - N ₉₇cosa - N ₉₈ = 0, тогда N ₉₈ = 0.

Таким образом, оба усилия, сходящиеся в двухстержневом ненагруженном узле, нулевые.

Рассмотрим равновесие 8-го узла (рис. 2.4). Это так называемый трехстержневой узел с единственно выходящим стержнем. Им является стержень 8–7. Записав сумму проекций S y = 0, нетрудно убедиться, что стержень 8–7 — нулевой, а из уравнения S х = 0 следует, что N ₉₈ = N ₈₆.

Мысленно вырежем узел 7. С учетом того, что стержень 7–8 нулевой, 7-й узел можно рассматривать как трехстержневой с единственно выходящим стержнем 7–6, который тоже будет нулевым. Остальные узлы либо нагружены, либо не могут рассматриваться как трехстержневые, и в остальных стержнях решетки будут возникать продольные усилия.

Пример 2. 2 Вычислить усилия в отмеченных стержнях фермы (рис. 2.5).

Наметим путь решения задачи. Усилие в стержне 3–4 удобно искать, рассмотрев равновесие узла 3; усилие в стержне 5–6 проще найти методом вырезания узла 6, а усилие в раскосе 4–5 удобнее находить, используя метод проекций. Для этого необходимо найти реакции опор и провести сечение I–I.

S m ₁ = 0. P∙ 6– R _пр ∙ 12 = 0, R _пр = R _л = Р /2.

Для определения усилия в стержне 3–5 можно воспользоваться методом моментной точки, которая находится в месте пересечения двух других усилий, оказавшихся в сечении I–I. Моментной точкой для N ₃₅ служит узел 4 (рис. 2.5, б).

Дальнейшее решение задачи предлагается провести студентам самостоятельно. Вырезав узел 3, получим N ₃₄ = 0; вырезав узел 6, нетрудно убедиться, что стойка 5–6 сжата усилием P (N ₅₆ = - Р), а спроектировав все силы, приложенные к левой или правой частям фермы на вертикальную ось, получим усилие в раскосе N ₅₄ = R _л/cosa = 0,5 P /0,8 = = 0,625 P. Записав уравнение моментов для левой части фермы относительно узла 4, найдем N ₃₅ = R _л3/4 = 0,375 Р.

Пример 2. 3. Определить усилия в стержнях третьей панели заданной фермы (рис. 2.6, а). При расчетах принять:

d = 3,6 м, h = 3 м, h ₁ = 0,4 h = 1,2 м и Р = 80 кН.

Решение. Итак, нам необходимо определить усилия в пяти стержнях фермы: в стержнях верхнего и нижнего пояса 5–7 и 4–6, в раскосе 4–7, в левой 4–5 и правой 6–7 стойках третьей панели.

Предварительно вычислим ряд геометрических параметров заданной фермы, обозначив размер h - h ₁ = h ₂.

cosa = d / l ₅₇ = 3,6/3,71 = 0,97, sina = (h ₂/2)/ l ₅₇ = 0,9/3,71 = 0,242;

tga = 0,9/3,6 = 0,25; с = h ₁/tga = 1,2/0,25 = 4,8 м;

cosb = d / l ₄₇ = 3,6/4,17 = 0,863;

sinb = (h ₁ + h ₂/2)/ l ₄₇ = 2,1/4,17 = 0,504.

1. Определяем опорные реакции.

S m_A = 0. - P∙d - P∙ 2 d - P∙ 3 d - P∙ 4 d + R_В∙ 4 d = 0; R_В = 200 кН.

В силу симметрии R_А = R_В = 200 кН.

2. Для определения усилий в стержнях 4-6, 4-7 и 5-7 разрежем третью панель сечением I-I и рассмотрим равновесие одной из частей фермы под действием внешних и внутренних сил (рис. 2.6, б). Рассматривая правую часть фермы, видим, что для определения N ₄₆ удобно записать уравнение моментов относительно моментной точки 7 (узла 7), в которой пересекаются два других неизвестных усилия N ₄₇ и N ₅₇.

S m ₇=0. - P∙d + R_b∙d - N ₄₆(h ₁+ h ₂/2) = 0.

N ₄₆ = (- 80×3,6 + 200×3,6)/2,1 = 206 кН.

Усилие N ₄₆ направлено на чертеже от узла и получилось положительным, следовательно, стержень 4-6 растянут.

Для определения усилия N ₅₇ также удобно использовать метод моментной точки (узел 4). Рассмотрим равновесие левой части фермы.

S m ₄ = 0. – R_а∙ 2 d + P∙ 2 d + P∙d - (N ₅₇cosa) h = 0.

N ₅₇ = (- 200 ∙ 7,2 + 80 ∙ 7,2 + 80 ∙ 3,6)/(0,97×3) = - 198 кН.

Знак «-» у усилия N ₅₇ говорит, что стержень 5-7 сжат.

Усилие N ₄₇ можно найти либо методом проекций на ось у всех сил, приложенных к одной из частей фермы, либо методом моментной точки. В данном случае это будет точка m, лежащая справа от опоры В (рис. 2.6). Воспользуемся методом проекций, рассмотрев равновесие левой части фермы (рис. 2.6, б).

S y = 0. R_А - P - P - P - N ₅₇sina + N ₄₇sinb = 0.

N ₄₇ = [- 200 + 80 + 80 + 80 + (- 198) ∙ 0,242]/0,504 = - 15,7 кН

(стержень сжат).

Для вычисления усилия в стержне 6-7 проведем сечение II-II (рис. 3.32, а) и рассмотрим равновесие правой части фермы (рис. 2.7). Воспользуемся методом моментной точки: для усилия N ₆₇ моментной точкой будет точка m, в которой пересекаются два других усилия N ₄₆ и N ₇₈.

S m_m = 0, - N ₆₇(d + c) + Pc - R_bc = 0.

N ₆₇ = (80 ∙ 4,8 - 200 ∙ 4,8)/8,4 = - 69 кН,

(стержень 6-7 сжат).

В стойке 5-6 усилие будем определять методом вырезания узлов, вырезав узел 5 (рис. 2.8). Спроецируем все усилия, сходящиеся в узле, на ось у. В силу симметрии фермы и внешней нагрузки усилие в стержне 3-5 примем равным усилию в стержне 5-7.

S y = 0. - P - N ₄₅ - N ₅₇sina - N ₃₅sina = 0;

N ₄₅ = - 80 -2(-198) ∙ 0,242 = 15,8 кН, cтойка 4 - 5 растянута.

Для проверки полученных усилий можно записать уравнение проекций всех сил, приложенных к левой или правой частям фермы (рис. 2.6, б) на ось х.

S x = 0. N ₅₇cosa + N ₄₇cosb + N ₄₆ = 0;

(- 198) ∙ 0,97 + (-15,7) ∙ 0,863 + 206 = - 205,6 + 206 = 0.

Погрешность d, полученная в результате проверки, равна:

d = (206 - 205,6) ∙ 100%/205,6 = 0,2%,

при допустимой (разрешенной) для данного типа задач 3-5%.

2.2 Расчет ферм на подвижную нагрузку

Расчет ферм на подвижную нагрузку сводится к построению линий влияния при действии на ферму подвижной единичной силы, перемещающейся по одному из поясов.

Порядок построения линий влияния в фермах рассмотрим на примере. Рассмотрим построение линий влияния усилий N ₃₅, N ₃₄, N ₄₅, и N ₆₇ для фермы, показанной на рис. 2. 9.

Для построения линии влияния (а это график) усилия в стержне 3-5 необходимо получить выражение для этого усилия в зависимости от положения единичной силы. В свою очередь, единичная сила Р = 1 перемещается по нижнему поясу – это отмечено на ферме пунктирной линией. Для определения усилия N ₃₅ разрежем вторую панель сечением I-I и воспользуемся методом моментной точки. Моментной точкой является узел 4.

Пусть единичная сила перемещается справа от разрезанной панели между 4 и 12 узлами. Рассмотрим равновесие левой части фермы.

S m ₄= 0, R_А ∙2 d + N ₃₅∙ r ₁= 0. (r ₁ = h cosa₁)

тогда уравнение правой ветви примет вид линии влияния реакции R_a, умноженной на множитель 2 d / r ₁:

л. в. N ₃₅ = (л. в. R_А) = (л. в. R_А) = - (л. в. R_А).

Для построения правой ветви линии влияния N ₃₅ отложим на левой опорной вертикали ординату 1∙2/cosa₁. Поскольку линия влияния имеет знак минус, указанную ординату откладываем вниз. Правая ветвь будет проходить от 12 до 4 узла.

Р =1 находится слева от разрезанной панели между 1 и 2 узлами. Рассмотрим равновесие правой части фермы.

S m ₄= 0, R_В ∙4 d + N ₃₅∙ r ₁= 0.

По аналогии

л. в. N ₃₅ = (л. в. R_В) = (л. в. R_А) = (л. в. R_А).

Откладывая на правой опорной вертикали ординату 1∙4/cosa₂, строим левую ветвь линии влияния N ₃₅ от 1 до 2 узла.

Движение единичной силы между 2 и 4 узлами можно осуществить по настилу. В этом случае будет иметь место узловая передача нагрузки, а линия влияния будет очерчена передаточной прямой (пунктирной линией), соединяющей левую и правую ветви. Отметим, что левая и правая ветви пересекаются под моментной точкой. Это свойство линий влияния можно использовать для проверки.

Построим, используя приведенную выше методику, линию влияния усилия N ₃₄. Моментная точка для этого усилия находится в точке «к», в точке пересечения продолжения стержней 2-4 и 3-5. Из подобия треугольников находим, что а = d = 3 м, плечо у усилия N ₃₄ относительно моментной точки составит r ₂ = 3 d∙ sina₂.

Р = 1 справа от разрезанной панели.

S m _к= 0, R_А ∙ а - N ₃₄∙ r ₂= 0.

л. в. N ₃₄ = (л. в. R_А) = (л. в. R_А) = (л. в. R_А).

Строим правую ветвь, отложив на левой опорной вертикали 1/3sina₂. Ординату под 4 узлом (2/9sina₂) находим из подобия треугольников.

Р = 1 слева от разрезанной панели.

S m _к= 0, R_В ∙7 d + N ₃₄∙ r ₂= 0.

л. в. N ₃₄ = (л. в. R_В) = (л. в. R_В).

Строим левую ветвь, отложив вниз на правой опорной вертикали 7/3sina₂. В районе второго узла ордината составит 1/6 от 7/3sina₂.

Передаточной прямой соединяем левую и правую ветви. Не трудно убедиться, что они пересекаются под моментной точкой.

Для определения усилия N ₄₅ и построения его линии влияния можно так же воспользоваться методом моментной точки (точка «к») или методом вырезания узлов. Действительно, вырезав узел 4 (рис. 2.10) можно увидеть что в уравнение S у = 0 входит одно неизвестное N ₄₅. Линия влияния усилия N ₃₄ нами получена. Рассмотрим равновесие 4 узла.

S у = 0. N ₃₄sina₂ + N ₄₅ = 0. N ₄₅ = - N ₃₄sina₂, или

л. в. N ₄₅ = - (л. в. N ₃₄)∙sina₂

Вырезая узел 4, нам пришлось разрезать вторую и четвертую панели, т. е. левая ветвь линии влияния проходит от 1 до 2 узла, а правая от 6 до 12 узла. Строим эти ветви.

В качестве промежуточного будет положение единичной силы в 4 узле (рис. 2.11). В этом случае

S у = 0. N ₃₄sina₂ + N ₄₅ – Р = 0. N ₄₅ = - N ₃₄sina₂ + 1 = - sina₂ + 1 = .

Откладываем в районе 4 узла 7/9 и проводим две передаточные прямые. Получили линию влияния N ₄₅. Необходимо обратить внимание где пересекаются левая и правая ветви линии влияния N ₄₅.

При езде понизу усилие в стержне 6-7 равно нулю – стержень 6-7 нулевой. В то же время, при езде поверху при движении единичной силы между 5 и 9 узлами в стойке 6-7 будет возникать нагрузка. При движении по остальной части верхнего пояса стержень 6-7 остается нулевым, следовательно левая (от 1 до 5 узла) и правая (от 9 до 12 узла) ветви линии влияния усилия N ₆₇ тоже нулевые. Воспользуемся методом вырезания узлов, когда сила Р = 1 находится в 7 узле (рис. 2. 12).

S у = 0. – N ₆₇ – Р = 0.. N ₆₇ = – 1.

Откладываем ординату «– 1» от проекции 7 узла, проводим передаточные прямые и получаем линию влияния N ₆₇ (см. рис. 2.9).

3 Трехшарнирные арки

Арочными называются системы криволинейного или ломаного очертания, в опорах которых от вертикальной нагрузки возникают наклонные реакции, направленные, как правило, внутрь пролета. Горизонтальная составляющая такой наклонной реакции называется распором. Арочные системы в сравнении с балочными оказываются экономически более выгодными за счет меньших, чем в балках, изгибающих моментов.

Двухшарнирные и безшарнирные арки являются статически неопределимыми и будут рассматриваться в соответствующем разделе.

Трехшарнирная арка является системой геометрически неизменяемой и статически определимой. Принятые обозначения в арках показаны на рис. 3.1.

В практике встречаются различные по форме и виду арки. В том случае, когда каждая половина трехшарнирной арки представляет собой сплошной брус криволинейного очертания, ее называют аркой со сплошной стенкой (рис. 3.1). При ломаном очертании оси сооружение обычно называют трехшарнирной рамой (рис. 3.2, а, б). Система, изображенная на рис. 3.2, в, носит название трехшарнирной арки с затяжкой.

В практике встречаются арки, образованные из двух ферм, соединенных между собой общим шарниром (рис. 3.2, г). Такие системы называются трехшарнирными фермами.

3.1 Аналитический расчет трехшарнирной арки

Определение опорных реакций

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 3.3) в каждой ее опоре возникает по две реакции. Всего, таким образом, имеется четыре неизвестные реакции – две вертикальные R_A, R_B и две горизонтальные Н_A и Н_B. Для расчета трехшарнирной арки кроме трех уравнений равновесия, которые дает статика для системы сил, расположенной в одной плоскости, можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что сумма моментов всех сил, приложенных по одну сторону от ключевого шарнира С, равна нулю. Действительно, это уравнение для изгибающего момента в поперечном сечении, а в шарнире момент отсутствует.

Для трехшарнирной арки (рис. 3.3) при определении реакций будут записаны следующие уравнения:

S m_B = 0, - R_Al + P ₁(l – a ₁) + P ₂ a ₂ = 0, (а)

R_A = [ P ₁(l – a ₁) + P ₂ a ₂]/ l.

S m_A = 0, R_Bl – P ₁ a ₁ – P ₂(l – a ₂) = 0, (б)

R_B = [ P ₁ a ₁ + P ₂(l – a ₂)]/ l.

Уравнения (а) и (б) для вычисления вертикальных реакций имеют тот же вид, что и уравнения в балочной системе. Для вычисления распора запишем следующие уравнения:

S x = 0, H_A – H_B = 0, H_A = H_B = H.

S m_C ^пр = 0, R_Bl ₂ – P ₂(l ₂ – a ₂) – H_Bf = 0, (в)

H_B = H = [ R_Bl ₂ – P ₂(l ₂ – a ₂)]/ f, или:

(3.1)

В выражении (3.1) М_С ^бал представляет собой изгибающий момент в сечении С в балке, перекрывающей тот же пролет и воспринимающей заданную на трехшарнирную арку вертикальную нагрузку (рис. 3.3). Из формулы (3.1) следует, что величина распора Н обратно пропорциональна стреле подъема арки f.

Определение внутренних усилий в арке

от вертикальной нагрузки

При действии на арку только вертикальных нагрузок (рис. 3.4, а) изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен:

M_x = R_Ax – P ₁(x - a ₁) – P ₂(x - a ₂) – Hy,

или:

М_x = M_x ^бал - H ∙ y, (3.2)

где М_х ^бал — изгибающий момент в балке (рис. 3.4, б) от той же нагрузки в сечении с абсциссой х (так называемый балочный момент). Формулой (3.2) удобно пользоваться при построении эпюры моментов в арке. Значения М_х ^бал непосредственно берут из эпюры моментов, построенной для балки. Величину распора находят по формуле (3.1).

Полученная формула для М_х наглядно показывает уменьшение изгибающего момента в арке по сравнению с балкой, что подтверждает экономичность арочной конструкции по сравнению с балочной. Это видно из построений на рис. 3.4, г, где показано совмещение балочной эпюры моментов и кривой, соответствующей слагаемому Н∙у в формуле (3.1). На рис. 3.4, д показан вид эпюры моментов М_х в арке.

Аналогичные формулы можно получить для поперечной Q_x и продольной N_x сил. Для этого спроецируем все приложенные слева от сечения n – n силы (рис. 3. 4, в) сначала на нормаль к оси арки в сечении с абсциссой х, а затем на касательную к ней:

Q_x = (R_A – P ₁ – P ₂)cosj _x – H sinj _x,

N_x = + (R_A – P ₁ – P ₂)sinj _x + H cosj _x.

Нетрудно убедиться, что величина, стоящая в круглых скобках в записанных выше выражениях, представляет собой величину поперечной силы в балке в сечении с той же абсциссой х; тогда эти формулы примут вид:

Q_x = Q_x ^бал cosj _x - Н sinj _x, (3.3)

N_x = Q_x ^бал sinj _x + H cosj _x. (3.4)

Отметим, что в арке принято считать N > 0 при сжатии.

Рациональная ось арки

Из формулы (3.2) следует, что в том случае, когда очертание оси арки совпадает с очертаниями балочной эпюры моментов М ^бал, называемой кривой давления, т. е. если

(3.5)

то в такой арке изгибающий момент М_х = 0.

Уравнение (3.5) называют уравнением рациональной оси арки. На рис. 3. 5, в приведены очертания арок с рациональной осью для различных случаев нагружения.

Пример 3.1 Для заданной трехшарнирной арки с размерами, показанными на рис. 3. 6, вычислить значения внутренних усилий в сечениях m и n. Построить эпюры внутренних усилий. Уравнение оси арки – квадратная парабола с началом координат в точке А:

, где l = 12 м, f = 4 м.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

S m_A = q 6×3 + P∙ 9 – R_B 12 = 0. R_B = 6 кН.

S m_B = q 6×9 + P∙ 3 – R_A 12 = 0. R_A = 10 кН.

H = M_C ^бал/ f = (R_B 6 – P∙ 3)/4 = 6 кН.

2. Строим эпюры Q_х ^бал и М_х ^бал.

3. По формуле (3.2) вычисляем значения М_х, получив предварительно ординаты заданных сечений m и n:

4. Вычисляем Q_m и Q_n, используя формулу (3.3)

Q_m=Q_m ^балcosj _m - H sinj _m

Для вычисления тригонометрических функций воспользуемся следующими математическими соотношениями:

;

,

тогда

, ,

, .

Аналогично:

sinj _n = - 0,555, cosj _n = 0,832.

Подсчитаем значения Q в заданных сечениях:

Q_m = Q_m ^балcosj _m - H sinj _m = 4×0,832 – 6×0,555 = 0.

В сечении n эпюра Q ^бал имеет разрыв, аналогично будет разрыв и в эпюре поперечных сил арки. Поэтому необходимо подсчитать поперечную силу слева и справа от сечения:

Одновременно найдем поперечные силы в опорных сечениях А и В.

Q_A = 10×0,6 – 6×0,8 = 1,2 кН; Q_B = -6×0,6–6(-0,8) = 1,2 кН.

Q_C = - 2×1 = - 2 кН.

5. Вычисляем продольные усилия по формуле (3.4):

N_m = Q_m ^балsinj _m + H cosj _m = 4×0,555 + 6×0,832 = 7,218 кН,

N_n ^л = (-2)×(- 0,555) + 6×0,832 = 6,108 кН,

N_n ^пр = (- 6)×(- 0,555) + 6×0,832 = 8,328кН,

В опорных сечениях:

N_A = 10×0,8 + 6×0,6 = 11,6 кН,

N_В = (-6)×(-0,8) + 6×0,6 = 8,4 кН.

Таблица 1.

№ сеч.	х (м)	y (м)	tg φ	sinφ	cosφ	M б	Н	М	Q б	Q б∙ cosφ	H ∙ sinφ	Q	Q б∙ sinφ	H ∙ cos φ	N
A			1.333	0.8	0.6						4.8	1.2		3.6	11.6
m			0.667	0.555	0.83					3.33	3.33		2.22	4.99	7.22
C									-2	-2		-2
n (л)			-0.667	-0.555	0.83				-2	-1.66	-3.33	1.66	-1.11	4.99	6.11
n( пр)			-0.667	-0.555	0.83				-6	-4.99	-3.33	-1.69	-3.33	4.99	8.33
B			-1.333	-0.8	0.6				-6	-3.6	-4.8	1.2	4.8	3.6	8.4

6. Сводим полученные значения в таблицу 1 и строим эпюры внутренних усилий в арке (рис. 3. 6).