Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Получаются на основе векторной суммы объемных и поверхностных сил, действующих на мысленно выделенных элементарный объем жидкости.

1. Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, выделенного внутри покоящейся жидкости.
2. Пусть на единицу массы параллелепипеда действует массовая сила F, с ее составляющими X,Y,Z
3. Если на три грани, пересекающиеся в(.) 0 будет действовать давление P, то на соответствующих противоположных гранях давления будут равны:

; ;

1. Уравнение равновесия в проекции на ось X будет иметь вид

(dx)

(dy)

(dz)

Эти уравнения были получены Эйлером в 1755 году и называются ур. Эйлера равновесия жидкости и газа. Они являются основными уравнениями гидростатики.

1. Если эту систему уравнений умножим последовательно на dx, dy, dz и сложим, то получим:

Т.к. P = f(x,y,z), то правая часть последнего уравнения есть полный дифференциал

, тогда имеем

Т.к. имеет место равновесие жидкости и правая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат, то полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат должна быть и левая часть уравнения.

Обозначим эту функцию через функцию

Т.к. есть функция только координат и т.к. частные производные ее по координатам дают соответствующие проекции(X,Y,Z) объемом силы, отнесенной к единице массы жидкости, то следовательно Ф. является потенциальной функцией. Объемная же сила F, удовлетворяющая условиям является силой, имеющей потенциал.

С другой стороны полный дифференциал можно представить как сумму частных дифференциалов

Сопоставляя два последние уравнения видим, что

; ;

Тогда уравнение занимается таким образом: ρdФ = dP

Из этого уравнения следует, что “жидкость может находится в равновесии только в том случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию»

Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести.

Основное уравнение гидростатического давления получают путем интегрирования системы дифференциальных уравнений равновесия.

Если предположить, что на жидкость действует только одна сила тяжести и направить ось Z вертикально вниз, то

X=0, Y=0, Z=q, тогда равновесия примет вид.

Интегрирование этого уравнения при постоянных значениях q и ρ приводит к результату p = ρqz+c

А если начало координат поместить на свободную поверхность покоящейся жидкости, где P₀ задано или для открытого сосуда равно атмосферному давлению, то из последнего уравнения при Z=0; c=P₀(P₀=ρq0+c)

Подставив значение постоянной С в уравнение и зная, что ρq=γ, получим величину гидростатического давления

P=P₀+γz

Обозначив через L заглубление точки М, h=z, получим P= P₀+ γh

P – давление в (.) М

P₀ – поверхностное давление

γh – весовое давление

Из основного уравнения гидростатики непосредственно вытекает закон Паскаля

Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью. Пусть давление в (.) А, расположенной на поверхности, определяющей жидкость от поршня, равно Р_а.

Рисунок

На основании основного уравнения гидростатики давление в точке В.

Р_в = Р_а+ γh

Увеличим давление в точке А, приложив к поршню дополнительное усилие. В точке А давление станет больше первоначального на величину Р_ср

Так как жидкость находится в состоянии покоя, то новое давление в точке

Р_в¹ = Р_а+Р_ср + γh

Очевидно, что в результате приложения к поршню дополнительного усилия давление в точке В изменится на величину

P_в¹-Р_в=Р_ср

Отсюда следует закон Паскаля: «изменение давления на граничной поверхности жидкости, находящейся в состоянии покоя, передается равномерно (без изменения) по всему объему жидкости.

Это соотношение является выражением общего гидростатического закона, который формулируется следующим образом: «Давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице».

Кроме того, это уравнение показывает, что гидростатическое давление Р по координате Z изменяется по линейному закону и при данном значении Z есть величина постоянная.

Изменение давления p₀ на граничной поверхности покоящейся жидкости передается одинаково по всему объему жидкости (закон Паскаля)

Если давление p больше атмосферного, то разность p-p_a=p_m называется монометрическим давлением.

Если давление меньше атмосферного давления, то р_а- р=р_в называется вакуумметрическим давлением.

Гидростатическое давление измеряется жидкостным и механическими приборами: Жидкостными: пьезометрами, манометрами, дифференциальными, микроманометрами и т.д.

rrRжидкости удельного веса γ.