Расчет на прочность и жесткость ломаных стержней

4.1 Построение эпюр внутренних усилий в раме.

Рамой называется ломаный стержень, состоящий стоек и ригелей, соединенных жесткими или шарнирными узлами (рис. 4.1).

В плоских рамах, в отличии от балок, возникают три внутренних усилия: М – изгибающий момент, Q – поперечная сила и N – продольная сила, которые определяются методом сечений. Напомним, что изгибающий момент в сечении равен сумме моментов всех сил, приложенных к оставшейся части, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения. Поперечная сила равна сумме проекций тех же сил на поперечную ось стержня, а продольная сила равна сумме проекций этих же сил на продольную ось стержня.

Порядок построения эпюр:

1. Определяются опорные реакции (для консольных стержней (рис. 4.1,б) можно обойтись без определения реакций).

2. Рама разбивается на участки. Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил или моментов, начало и конец распределенной нагрузки, узлы рамы.

3. Для каждого участка записываются выражения для внутренних усилий, производится вычисление этих усилий в пределах участка.

4. Выбирается масштаб эпюр таким образом, чтобы наибольшая ордината не превышала 1/3 ÷ 1/4 габарита рамы, и строятся эпюры M, Q, N. Эпюры Q, N строятся в одном масштабе.

5. Делается проверка построенных эпюр на соответствие приложенной нагрузки и по равновесию узлов рамы, рамы в целом.

Пример 4.1 Построить эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 4.2).

1. Обозначим в соответствии с видом опор опорные реакции (рис. 4.3) и определяем их значение, используя уравнения равновесия.

Σ m_A = 0, - q ··5∙2.5 + R_B ·6 = 0. R_B = 6.25 кН.

Σ m_В = 0, - q ·5·2.5 - R_А ·6 = 0. R_А = - 6.25 кН. Меняем направление реакции R_А и считаем ее положительной (R_А = 6,25кН) и направленной в низ.

Учитывая, что в шарнире С изгибающий момент отсутствует, можно записать:

Σ m_C^пр = 0. R_B ·4 - H_B ·5 = 0, H_B = 5 кН.

Σ m_C^лев = 0. R_А ·2 + q· 5 · 2.5 – H_A ·5 = 0, H_A = 10 кН.

Проверка.

Σ х = 0. q ·5 - H_A - H_B = 0.

Σ y = 0. - R_A + R_B = 0.

2. Обозначаем участки (рис. 4.4). В качестве «оставшейся части» оставляем ту часть рамы, к которой приложено меньше усилий.

Правила знаков, применяемые при построении эпюр внутренних усилий:

3. Записываем выражения для внутренних усилий.

1-й участок, 0 < х ₁ < 5 м.

N ₁ = R_A = 6.25 кН.

Q ₁ = H_A - q∙x ₁, Q_{x= 0} = H_A = 10 кН, Q_{x= 5} = H_A = 10 - 3∙5 = - 5 кН.

М ₁ = - H_A∙x ₁ + q∙x ₁ ∙x ₁/2. Получили уравнение квадратной параболы. Для ее построения необходимо вычислить три значения момента.

М_{х = 0} = 0, М_{х = 5} = - 10∙5 + 3∙5²/2 = - 12,5 кНм,

М_{х = 2,5} = - 10∙2,5 + 3∙(2,5)²/2 = - 15,6 кНм.

2-й участок, 0 < х ₂ < 6 м.

N ₁ = - H_B = - 5 кН.

Q ₁ = - R_B = - 6.25 кН.

М ₁ = - H_B∙ 5 + R_B∙x ₂. М_{х = 0} = - 25 кНм, М_{х = 6} = - 25 + 6,25∙6 = 12,5 кНм,

2-й участок, 0 < х ₃ < 5 м.

N ₁ = - R_B = - 6.25 кН.

Q ₁ = H_B = 5 кН.

М ₁ = - H_B∙x ₃. М_{х = 0} = 0, М_{х = 5} = - 25 кНм,

4. Строим эпюры (рис. 4.6)

5. Проверяем равновесие узлов. Вырежем поочередно узлы рамы с действующими в их элементах внутренними усилиями, и запишем для них уравнения равновесия (рис. 4.7). При проверке моментов пунктиром отмечены растянутые волокна.

На рисунке 4.7 видно, что все уравнения равновесия (Σ х = 0, Σ y = 0, Σ m = 0) для узлов выполняются.

Осуществим проверку равновесия рамы в целом (рис. 4.8). Для этого восстановим значения реакций, используя эпюры внутренних усилий.

В точке А вертикальная реакция будет направлена вниз, поскольку левая стойка растянута, а правая реакция (т. В) направлена вверх, т. к. правая стойка сжата.

Обе горизонтальные реакции в опорах · А и В будут направлены влево, поскольку по знаку эпюры Q (знак «+») они должны вращать элемент по часовой стрелке.

Записываем уравнения равновесия:

Σ х = 0. q ·5 - H_A - H_B = 3∙5 – 10 – 5 = 0.

Σ y = 0. - R_A + R_B = - 6,25 + 6,25 = 0.

Σ m _A = 0, - q ·5·2.5 + R_B 6 = 3·5·2.5 – 6.25·6 =

= - 37.5 + 37.5 = 0.

4.2 Определение перемещений в стержневых системах