Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z - область, H(z) (рис. 2.6) с использованием комплексных отображений.
Рис. 2.6. Проектирование БИХ-фильтров
Эта технология называется Filter Transformation (преобразование фильтров). Однако этот метод позволяет создавать лишь ФНЧ. Для получения ФВЧ, ПФ и фильтров-пробок применяется Spectral Transformation (спектральное преобразование) [13].
Существует два подхода к процедуре получения цифрового фильтра из аналогового ФНЧ. В первом случае аналоговое спектральное преобразование применяется к аналоговому ФНЧ для получения частотно-избирательного фильтра. Затем применяется преобразование фильтров для получения требуемого цифрового фильтра.
Во втором случае, сначала получается цифровой ФНЧ из соответствующего аналогового фильтра через преобразование фильтров. Затем требуемый частотно-избирательный цифровой фильтр получается путем спектрального преобразования цифрового ФНЧ.
|
|
Рассмотрим каждый из этапов подробнее.
1.Используя заданные цифровые спецификации, получить соответствующие характеристики аналогового ФНЧ.
Цифровые фильтры задаются следующими характеристиками:
– тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ФП);
– частоты среза полос пропускания , Гц;
– частоты среза полос затухания , Гц;
– максимальное затухание в полосе пропускания (величина пульсаций) , дБ;
– минимальное затухание в полосе затухания , дБ;
– частота дискретизации , Гц;
– прототип фильтра.
Аналоговые ФНЧ задаются следующими характеристиками:
- тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ФП);
- частота среза полосы пропускания , ;
- частота среза полосы затухания , ;
- максимальное затухание в полосе пропускания , дБ;
- минимальное затухание в полосе затухания , дБ;
- прототип фильтра.
Цифровые спецификации связываются с аналоговыми следующими выражениями:
; , (2.19)
где , – нормированные циклические частоты среза полос пропускания и подавления в цифровой области;
2. Применить спектральное преобразование для получения аналогового ФНЧ из заданного аналогового фильтра.
Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ФВЧ и обратно имеет вид (рис. 2.7):
,
где – частота среза ФВЧ.
Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ПФ имеет вид (рис. 2.8):
Рис. 2.7. Геометрическая иллюстрация спектрального преобразования при переходе от ФНЧ к ФВЧ.
Рис. 2.8. Геометрическая иллюстрация спектрального преобразования при переходе от ФНЧ к ПФ.
где – нижняя и верхняя частоты среза полосы пропускания ПФ,
|
|
– ширина полосы пропускания ПФ,
– квадрат среднего геометрического частот среза полосы пропускания ПФ.
Спектральное преобразование при переходе от ФНЧ к ФП имеет вид:
.
где – нижняя и верхняя частоты среза полосы подавления ФП,
– ширина полосы подавления ПФ,
– квадрат среднего геометрического частот среза полосы подавления ФП.
3.Спроектировать аналоговый ФНЧ.
Для фильтра Баттерворта порядок фильтра определяется по формуле:
,
где
, ,
или .
По исходным данным , , и необходимо определить три параметра, определяющих фильтр Чебышева 1-го рода: порядок и частоту запирания , при которой обеспечивается затухание 3dB, и коэффициент пульсаций :
,
где ; ;
; .
4.Применить преобразование фильтров для получения цифрового ФНЧ: по известной импульсной характеристике и билинейная трансформация.
Импульсное инвариантное отображение использует импульсную характеристику аналогового фильтра для определения импульсной характеристики цифрового фильтра как дискретной версии характеристики непрерывного времени. В результате частотная характеристика цифрового фильтра – это зашумленная в результате дискретизации частотная характеристика аналогового фильтра.
Процедура синтеза имеет следующую последовательность:
4.1. Задаться логарифмической АЧХ (ЛАЧХ), учитывая, что это звено не выше второго порядка.
4.2. Записать передаточную функцию системы.
4.3. Вычислить импульсную характеристику с использованием обратного преобразования Лапласа.
4.4. Задаться периодом дискретизации.
4.5. Провести дискретизацию импульсной характеристики , перейти к .
4.6. Взять -преобразование от :
4.7. Поскольку бесконечна во времени, то ряд тоже бесконечный и сумма в п.6 тоже бесконечна.
4.8. Записать сумму членов получившегося ряда в виде дробно-рациональной функции:
.
Поскольку последний шаг довольно сложен, этот метод используется не всегда. Для звеньев с порядком не выше второго, соответствующие суммы рядов приведены в литературе [Бесекерский].
Рассмотрим в качестве примера синтез БИХ-фильтра, реализующего инерционное звено, передаточная функция которого имеет вид:
.
Импульсный отклик системы равен:
.
После выполнения дискретизации с периодом дискретизации, равным , получим:
.
Применим -преобразование к функции дискретного времени :
.
Полученное выражение является убывающей геометрической прогрессией, поэтому
.
Билинейная трансформация – это отображение один к одному, которое исключает проблему помех от дискретизации путем перевода аналоговой частотной характеристики в передаточную функцию цифровой системы с соответствующим частотным откликом, это переход от производных в дифференциальных уравнениях к конечным разностям.
Билинейная трансформация определяется отображением на :
, (2.20)
где Т – это период дискретизации. Обратное преобразование:
. (2.21)
Для того чтобы выразить частотную характеристику, введем обозначение и в равенстве (2.21). Тогда
. (2.22)
Выразив как функцию от , получим
. (2.23)
Приведенное выражение дает эффект нелинейного сжатия между аналоговой частотой и цифровой частотой . Оно называется трансформацией аналоговых частот, которое также означает отсутствие помех от дискретизации. Вся мнимая ось на -плоскости отображается в окружность на -плоскости. Левая полуплоскость плоскости s отображается в круг единичного радиуса на плоскости z, а правая – в часть плоскости вне круга единичного радиуса на плоскости z. Обратная трансформация цифровых частот в аналоговые задается выражением, аналогичным приведенному ранее выражению (2.19):
. (2.24)
5.Применить спектральное преобразование для получения требуемого цифрового фильтра из ФНЧ. Результатом этого шага является передаточная функция в прямой форме. Это преобразование с комплексной переменной z очень похожи на билинейную трансформацию и соответствующие проектировочные выражения являются алгебраическими.
|
|
Пусть H ФНЧ(Z) – это созданный цифровой ФНЧ и H(z) – требуемый цифровой фильтр. Стоит отметить, что используется две переменных для обозначения частоты, Z и z, с функциями H ФНЧ и H, соответственно. Преобразование вида
преобразует
,
если это действующее преобразование с соответствующими параметрами. Общий вид функции для любого типа фильтра:
,
где ½ ак ½<1 - условие устойчивости. Путем выбора подходящего n и соответствующих значений ак, можно получить множество спектральных преобразований. Наиболее широко используемые преобразования приведены в таблице 2.2.
6.Если требуется, получить каскадную форму БИХ-фильтра. Преобразуя в произведение секций второго порядка, получим коэффициенты многочленов второго порядка.
Таблица 2.2. Спектральные преобразования цифровых фильтров
Тип преоб-разования | Преобразование | Параметры , w’с - частота запирания H ФНЧ(Z) |
ФНЧ | wc - частота запирания нового фильтра | |
ФВЧ | wc - частота запирания нового фильтра | |
ПФ | wl - нижняя частота запирания wu - верхняя частота запирания | |
Фильтр- пробка | wl - нижняя частота запирания wu - верхняя частота запирания |