Двумерные дискретные сигналы

Двумерный дискретный сигнал (последовательностьили массив) – это функция, определенная на совокупности упорядоченных пар целых чисел [4,8]. Так,

. (3.1)

Отдельные элементы последовательности будем называть отсчетами. Тогда х (п₁,п₂) представляет собой отсчет последовательности х в точке (п₁,п₂). Значения отсчетов могут быть вещественными или комплексными. Если п₁ и п₂ считать переменными величинами, выражение х (п₁,п₂) можно рассматривать как обозначение всей последовательности. Графическое изображение двумерной последовательности представлено на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Графическое представление двумерной последовательности

В соответствии с приведенным выше определением двумерные последовательности имеют бесконечную протяженность, поскольку п₁ и п₂ могут принимать любые целочисленные значения. Однако на практике для большинства двумерных последовательностей значения отсчетов известны только в конечной области плоскости (п₁,п₂). Например, при сканировании черно-белой фотографии за ее краями отсчеты не берутся. Вместо того, чтобы ограничивать область определения такой двумерной последовательности, мы просто будем считать, что все значения отсчетов за пределами определенной области равны нулю.

Некоторые последовательности настолько важны, что удостоились специальных названий или символов. К ним принадлежит двумерный единичный импульс (п₁,п₂), называемый также единичным отсчетом. Единичный импульс определяется следующим образом:

(3.2)

Если определить одномерный единичный импульс как

(3.3)

то двумерный единичный импульс можно записать в виде произведения двух одномерных единичных импульсов:

(3.4)

На рис. 3.2 приведено графическое представление двумерного единичного импульса.

Двумерный линейный импульс – это последовательность, имеющая постоянное значение в одном направлении и импульсная – в другом. Последовательности и

Рис. 3.2. Двумерная единичная импульсная функция (большим кружком обозначен отсчет со значением 1, маленькими кружками – отсчеты со значением 0).

Рис. 3.3. Примеры двумерных линейных импульсов.

, показанные на рис. 3.3, являются примерами линейных импульсов. Очевидно, что для М -мерного случая можно определить не только М -мерные единичные импульсы, но и M -мерные линейные импульсы, M -мерные плоскостные импульсы и т. д.Другой особой последовательностью является двумерная единичная ступенька u (п₁,п₂). Ступенька определяется следующим образом:

(3.5)

Экспоненциальные последовательности определяются следующим образом:

(3.6)

где a и b – комплексные числа. Если абсолютные значения a и b равны единице, их можно записать в виде

(3.7)

В этом случае экспоненциальная последовательность становится комплексной синусоидальной последовательностью:

(3.8)

Любую последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей, называют разделимой. Среди встречающихся на практике сигналов лишь очень немногие оказываются разделимыми, любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов можно записать в виде суммы конечного числа разделимых последовательностей:

(3.9)

где N — число ненулевых строк или столбцов. Простейшее представление такого рода можно получить, выразив х в виде суммы отдельных строк последовательности.

Другим важным классом дискретных сигналов являются двумерные последовательности конечной протяженности. Слова «конечная протяженность» означают, что эти сигналы равны нулю вне области конечной протяженности в (п₁,п₂)- плоскости. Эта область называется опорной областьюсигнала. Одна из типичных последовательностей конечной протяженности, изображенная на рис. 2.4.4, отлична от нуля только внутри прямоугольника 0<n₁<N₁, 0<n₂<N₂.

Хотя области прямоугольной и квадратной форм чаще других используются в качестве опорных областей последовательностей конечной протяженности, вполне можно представить себе опорную область и другой формы.

Следующим важным классом двумерных последовательностей являются периодические дискретные сигналы. Двумерную периодическую последовательность, как и ее одномерный аналог, можно рассматривать как сигнал, регулярно повторяющийся в пространстве. Однако, если учесть, что двумерный сигнал должен повторяться сразу в двух направлениях, формальное определение периодической двумерной последовательности оказывается сложнее определения периодической одномерной последовательности.

Рассмотрим двумерную последовательность (п₁,п₂), удовлетворяющую следующим условиям:

(3.10)

Рис. 3.4. Последовательность конечной протяженности с опорной областью прямоугольной формы

Рис. 3.5. Двумерная периодическая последовательность

Эта последовательность обладает двойной периодичностью. Ее значения повторяются, если переменная п₁ увеличивается на N₁ или если переменная п₂ увеличивается на N₂. На рис. 3.5 приведено изображение такой последовательности. Величины N₁ и N₂, представляющие минимальные положительные целые числа, для которых справедливы выражения, назовем горизонтальным и вертикальным интервалами периодичности последовательности х.

Из всех отсчетов только N₁ х N₂ отсчетов последовательности х оказываются независимыми; остальные отсчеты определяются условиями периодичности. Будем называть периодомпоследовательности х любую связную область плоскости (п₁, п₂), содержащую точно N₁ х N₂ отсчетов, если значения этих отсчетов независимы. Например, область, заштрихованную на рис. 3.6, также можно рассматривать как один период периодической последовательности.