2015-06-26
513
Произвольная двумерная последовательность может быть выражена в виде суммы взвешенных и сдвинутых импульсов. Линейный двумерный цифровой фильтр отзывается на каждый импульс своим импульсным откликом, взвешенным соответствующим образом. Поэтому выходная последовательность может рассматриваться как суперпозиция взвешенных и сдвинутых импульсных откликов.
Рассмотрим двумерный линейный цифровой фильтр с импульсной характеристикой h (п1, п2) и входным сигналом, представляющим собой комплексную синусоиду вида
(3.11)
где ω1 и ω2 – вещественные числа, называемые горизонтальной и вертикальной пространственными частотами соответственно. Выходной сигнал можно получить с помощью свертки
(3.12)
Выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же частотами, что и у входного сигнала, но с измененными амплитудой и фазой за счет комплексного множителя 
. Множитель носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы и описывается выражением:
|
|
|
(3.13)
Полученное выражение имеет название двумерного дискретного преобразования Фурье (ДДПФ).
Частотный отклик периодичен с периодом 
по обеим (горизонтальной и вертикальной) частотным переменным
(3.14)
В качестве примера вычислим частотный отклик системы с импульсной характеристикой
(3.15)
Эта последовательность изображена на рис. 3.7, а. Частотный отклик имеет вид (рис. 3.7, б):
(3.16)
Рис. 3.7. Импульсная характеристика (а)и частотный отклик (б), рассмотренные в примере
Частотный отклик двумерной дискретной системы в общем случае представляет собой непрерывную двумерную периодическую функцию, которую можно выразить в виде линейной комбинации гармонически связанных комплексных синусоид. Коэффициентами разложения в двумерный ряд Фурье служат значения отсчетов импульсной характеристикой h(n1,n2). Поэтому импульсный отклик двумерной системы можно получить из частотного отклика:
(3.17)
Область интегрирования в формуле в точности совпадает с одним периодом функции . В приведенных выкладках использовался период, расположенный вокруг начала координат, но аналогично можно использовать любой другой период.
Воспользуемся полученным результатом для нахождения импульсного отклика идеального фильтра нижних частот, определяемого частотным откликом:
(3.18)
Рассматриваемая система разделима, ее импульсный отклик имеет следующий вид:
(3.19)
Для входной последовательности следующего вида
(3.20)
комплексная функция X, известная как ДДПФ от функции x, определяется следующим образом:
(3.21)
В соответствии с теоремой о свертке получим:
|
|
|
(3.22)
Преобразование Фурье свертки двух двумерных последовательностей равно произведению их преобразований Фурье.
Примем для определенности, что дискретизация выполнена по прямоугольному растру объемом N1хN2 отсчетов и пусть
,
, (3.23)
.
Тогда,
(3.24)
