Раздел VI: основы теории вероятностей

6.1. Элементы комбинаторики:

Определение:

Соединения, содержащие элементов из данных и отличающиеся друг от друга либо сами элементами, либо порядком их расположения в соединениях называются размещениями.

Формула вычисления:

Определение:

Соединения, содержащие все данные элементов и отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками из элементов.

Формула вычисления:

Определение:

Соединения, содержащие элементов из данных и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом назвыаются сочетаниями из элементов по .

Формула вычисления: .

В частности, если , то .

6.2. Основные понятия теории вероянтостей:

Изначальные понятия: событие и вероятность.

Под событием понимают всякий факт, относительно которого уместно говорить: произойдет оно или нет.

События делят на: случайные, достоверные и невозможные.

Определение:

Случайным событием называют всякое явление, которое в результате ОКУ может произойти или не произойти.

Обозначение:

Определение:

Событие называется достоверным, если оно заведомо происходит при ОКУ.

Обозначение: .

Определение:

Событие называется невозможным, если оно заведомо не происходит при ОКУ.

Обозначение:

Определение:

Несколько событий называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем любое другое.

Определение:

Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление любого другого и совместными, если не исключает.

Определение:

Несколько событий образуют полную группу, если в результате ОКУ обязательно происходит хотя бы одно из данных событий.

Определение (классическое определение вероятностей):

Если в результате ОКУ всевозможные исходы составляют полную группу и равновозможных и несовместных случаев, из которых благоприятствуют появлению события , то вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих событий к их общему числу.

Т.о. .

Определение:

Два события называются противоположными, если в результате ОКУ обязательно происходит одно и только одно из них.

Теорема: .

6.3. Теоремы сложения и умножения:

Определение:

Произведением двух событий называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Обозначение: .

Определение:

Два события называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие и зависимыми, если зависит.

Определение:

Вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события .

Обозначение: или .

Определение:

Вероятность события , вычисленная без учета появления, или не появления называется безусловной вероятностью события .

Обозначение: .

Теорема умножения:

Замечание: теорема остается справедливой и для большего количества событий.

Определение:

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

Обозначение: .

Теорема сложения:

Замечание: теорема остается справедливой и для большего количества событий.

Следствия:

- Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице, т.е. ;

- - формула расчета вероятности появления хотя бы одного из совместных событий.

Теорема (формула полной вероятности):

Если случайные гипотезы образуют полную группу несовместных событий и событие может произойти только после наступления одной из гипотез, то вероятность появления события рассчитывается по формуле

Теорема (гипотез или формула Бейеса):

Пусть случайные гипотезы образуют полную группу несовместных событий, известны вероятности появления этих гипотез , событие уже произошлою, то .

Повторение испытаний:

- Если , то ;

- В независимых испытаниях событие появится хотя бы один раз с вероятностью .

Теорема (формула Бернулли):

Если проводится независимых испытаний, в результате каждого из которых событие может появится с вероятностью и не появится с вероятностью ,то вероятность того, что в испытаниях событие появится ровно раз рассчитывается по формуле

Эта формула целесообразна при небольших .

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа):

Если вероятность появления события в результате каждого из независимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно больших вероятность того, что в испытаниях событие появится ровно раз имеет представление

, где .

Функция - непрерывная и положительная при любых , четная и .

При полагают .

Закон Пуассона:

Если достаточно велико, - достаточно мало, то с наименьшей погрешностью

, где .

Интегральная теорема Лапласа:

Если вероятность появления события в результате каждого из независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достатолчно больших вероятность того, что событие наступит от до раз имеет слудующее представление , где ; .

- функция Лапласа.

- непрерывна при любых , нечетная .

При полагают .

6.4. Случайные величины:

Определение:

Случайной величиной называется величина, которая в результате ОКУ заведомо принимает одно и только одно из своих возможных числовых значений, причем заранее неизвестно какое именно.

Определение:

Случайная величина, возможные значения которой изолированы друг от друга называется дискретной (ДСВ).

Определение:

Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный, называется непрерывной (НСВ).

Определение:

Всякое соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения случайной величины.

Простейшей формой закона распределения ДСВ является ряд распределения, т.е. таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

Где

Определение:

Ломаная, соединяющая точки с координатами , называется многоугольником или полигоном распределения ДСВ.

Определение:

Возможное значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность, называется модой этой случайной величины.

Определение:

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что эта случайная величина примет значение меньшее, чем , т.е. .

Основные свойства :

- значения функции распределения принадлежат отрезку ;

- функция распределения неубывающая;

- если , то и ;

- если возможные значения НСВ принадлежат , то при , а при

- вероятность попадания НСВ в интервал любого типа.

Определение:

Предел средней плотности распределения вероятности НСВ в , при условии, что длина этого интервала , называется плотностью распределения вероятности данной случайной величины в точке .