Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона

Таблица производных

Таблица неопределенных интегралов

Методы интегрирования ОДУ

Метод Эйлера

Усовершенствованный метод Эйлера

Метод предиктор – корректор

Метод Рунге-Кутта

Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона.

Приведенная формула (4.25) для оценки погрешности квадратурных формул использует значения производных подинтегральной функции, что требует дополнительного анализа и вычислений. В связи с этим получило распространение практическое правило Рунге оценки погрешности.

Идея состоит в том, чтобы организовав вычисления значений интеграла по нескольким семействам (множествам) узлов, затем сравнить результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее удобное правило связано с вычислением интеграла дважды: L_N [ f ], L_2N [ f ].

Правило Рунге оценки погрешности R_2N [ f ]:

R2N [ f ] ≈ (L2N [ f ] - LN [ f ]) / (2 p -1)

(4.32)

где p - порядок погрешности квадратурной формулы.

Определение 4.7 Оценка погрешности, которая находится до решения задачи, называется априорной.

Такую оценку дает теорема о погрешности.

Определение 4.8 Оценка погрешности, которая находится после решения задачи, называется апостериорной.

Эту оценку дает правило Рунге.

После подсчета величин L_N [ f ] и L_2N [ f ] кроме оценки погрешности по правилу Рунге можно также дополнительно уточнить приближенное значение интеграла. Величина

L*2N [ f ] = (2 pL2N [ f ] - LN [ f ]) / (2 p -1)

(4.33)

называется уточненным (или экстраполированным) по Ричардсону значением искомого интеграла.

Погрешность L_N [ f ] - L^*_2N [ f ] имеет более высокий порядок относительно h, чем L [ f ]- L_N [ f ] (и, соответственно, L [ f ]- L_2N [ f ]). Именно, если
L [ f ]- L_N [ f ]= ch^p+O(h^p+l), где l > 0 и константа c ≠ 0 не зависит от h, то
L_N [ f ] - L^*_2N [ f ]= O(h^p+l). Более подробно эти вопросы разобраны в работе [6].

Для практического вычисления интеграла L [ f ] с заданной точностью ε выбирается некоторое начальное число N разбиений отрезка [ a,b ] и вычисляются величины L_N [ f ] и L_2N [ f ]. Если | R_2N [ f ]| ≤ ε, то с точностью ε полагают L [ f ]≈ L_2N [ f ] (либо более точно L [ f ]≈ L^*_2N [ f ]). В противном случае вычисляют значение L_4N [ f ] и сравнивают | R_4N [ f ]| и ε, и т.д.

R_2N [ f ] ≈ (L_2N [ f ] - L_N [ f ]) / (2 ^p -1)

А. Варианты заданий (решить методами Эйлера и Рунге-Кутта и сравнить точность с использованием правила Рунге

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Б. Варианты заданий

6) y''- y = e^x, y(0) = 0, y'(0) = 0.5 на [0,1].

7) y''-2 y' = x² -1, y(1) = -1/6, y'(1) = -3/4 на [1,2].

8) y''- 2y' = 3e^x, y(0.3) = 1.415, y'(0.3) = 5.83 на [0.3, 0.6].

9) y''+ y' = 3x², y(1) = -1, y'(1) = 2 на [1,2].

;

;