Раздел v:операционное исчисление

5 6 7 8 9 10 11

5.1. Основные понятия:

Пусть - действительная функция действительной переменной , которая рассматривается как время.

Определение:

Функция называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям

при непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;
при ;
существуют такие действительные числа и , что при , где - называется показателем роста оригинала.

Определение:

Изображением оригинала называется функция комплексной переменной , определяемая равенством .

Символическая запись перехода от ориганала к изображению : .

5.2. Свойства преобразований Лапласа:

1) Если и , то - свойство линейности;

2) Если и действительное число , то - свойство подобия;

3) Если и действительное число , то - свойство запаздывания или сдвига;

4) Если , то - свойство смещения или затухания;

5) Если и является оригиналом, то - свойство дифференцирования оригинала;

Следствие:

Если и является оригиналом, то

, где

6) Если , то - свойство интегрирования оригинала;

7) Если , то - свойство дифференцирования изображения;

8) Если , то

5.3. Свертка функций:

Определение:

Сверткой двух функций и называется функция , определяемая равенством

Обозначение: .

Теорема умножения изображений:

Если , , то , т.е. если изображения перемножаются, то их оригиналы свертываются.

Формула обращения:

Если функция является изображением некоторого оригинала , то в каждой точке непрерывности оригинала справедлива формула .

5.4. Теоремы разложения:

Теорема 1:

Если изображение не конечного круга, т.е. при представлено рядом Лорана вида , то соответствующий оригинал является суммой степенного ряда , где , который сходится при всех .

Теорема 2:

Если изображение представлено правильной рациональной дробью со знаменателем, имеющем только простые корни, то соответствующий оригинал находят по формуле .

Теорема 3:

Если изображение представлено правильной рациональной дробью со знаменателем, имеющем кратные корни , то соответствующий оригинал находят по формуле .