Для аналитических

3. Теорема Коши (для односвязной области):

Если функция аналитическая в каждой точке области и на ее границе , то .

Теорема Коши (для многосвязной области):

Если функция аналитическая в многосвязной области , границей которой служат кривые , то (все границы области обходятся в одном направлении)

4. ;

5. Контурный интеграл от аналитической функции не зависит от формы кривой интегрирования, но зависит от начальной и конечной точек пути, т.е. .

6. Используя интегральную формулу Коши, имеем:

· , где - аналитическая в односвязной области и на ее границе

· , где - аналитическая

7.

8. Теорема:

Если функция аналитическая в каждой точке области , ограниченной контуром , за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих строго внутри области , то справедливо равентство:

.

4.5. Ряды Тейлора и Лорана:

Определение:

Степенной ряд , коэффициенты которого рассчитываются по формулам

называется рядом Тейлора функции , где - произвольный замкнутый контур, содержащий строго внутри точку .

Определение:

Функциональный ряд вида , где

и

называется рядом Лорана функции или компактная форма

, где

Ряд Лорана состоит из двух частей:

• - правильная

• - главная часть.

4.6. Типы особых точек:

Определение:

Точка называется - кратным нулем функции , если в разложении Тейлора этой функции в окрестности т. первых коэффициентов равны нулю: , но .

Определение:

Особая точка называется изолированной, если существует достаточно малая окрестность этой точки, не содержащая других особых точек данной функции.

Определение:

Точка называется особой точкой функции , если в этой точке функция не аналитическая.

Определение:

Точка называется устранимой особой точкой , если разложение Лорана этой функции в окрестности этой точки не содержит отрицательных степеней , т.е.

Определение:

Точка называется полюсом , если разложение Лорана этой функции имеет конечное число отрицательных степеней, т.е.

.

Если , то - кратный полюс, если , то простой.

Определение:

Точка называется существенно особой точкой , если разложение Лорана этой функции содержит бесчисленное множество отрицательных степеней , т.е.

.

Теорема:

- - кратный нуль функции является - кратным полюсом функции ;

- - кратный полюс функции является - кратным нулем функции .

Алгоритм определения типа особой точки:

1. Применить теорему о связи между нулями и полюсами функций;

или

1. Вычислить ;

или

1. Воспользоваться определением.

4.7. Вычеты:

Определение:

Число называется вычетом функции относительно изолированной точки .

Обозначение: = .

=