Отображения и функции

В математическом анализе понятие функции вводится следующим образом:

Пусть Х – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу хÎХ поставлено в соответствие определенное число у=f(x). При этом Х называется областью определения, Y- есть совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, и называется областью значений. Если же вместо числовых рассматривать множества какой либо другой природы, то придем к самому общему понятию функции.

Пусть А и В – два произвольных множества. Говорят, что на множестве А определена функция f, принимающая значения из В, если каждому элементу хÎА поставлено в соответствие один и только один элемент из В.

Для множеств произвольной (не числовой) природы вместо термина “функция” пользуются термином “ отображение ”, говоря об отображении одного множества в другое. Для обозначения функции (отображения) из А в В пользуются записью:

f: А®В 1.44

Если а – элемент из А, то соответствующий ему элемент b=f(a) из В называется его образом (при отображении f). Совокупность всех тех элементов а из А, образом которых является данный элемент bÎВ, называется прообразом (полным образом) элемента b и обозначается f^-1(b).

Пусть Х некоторое множество из А. Совокупность {f(a) | aÎХ} всех элементов вида f(a), где аÎХ, называется образом Х и обозначается f(Х). В свою очередь для каждого множества Y из B определяется его полный образ f^-1(Y), а именно: f^-1(Y) есть совокупность всех тех элементов из A, образы которых принадлежат Y.1

Определено, что f есть отображение множества A на множество B, если f(A)=B. Такое отображение называют также сюръекцией. В общем случае, т.е. когда f(A) Ì B, говорят, что f есть отображение A в B. Если f(A) состоит из единственного элемента, то f называется функцией – константой.

Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из А их образы у₁=f(x₁) и у₂=f(x₂) также различны, то f называется инъекцией.

Отображение, f: А®В, которое одновременно является и сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимнооднозначным соответствием между А и В.

Из вышесказанного видно, что ранее рассмотренное соответствие есть частный случай отображения.