Счётные и несчётные множества

Простейшими среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.

Определение: Множество называется счётным, если элементы множества биективно сопоставлены со множеством натуральных чисел.

Приведём примеры счётных множеств.

Пример 1. Имеем множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми натуральными числами по схеме:

0, -1, 1, -2, 2, -3, 3…,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…,

Вообще, для n ³ 0 сопоставим нечётное число 2n+1, а отрицательному n < 0 – чётное число 2|n|, и тогда получим:

n «2n+1 при n ³ 0; n «2|n| при n < 0.

Пример 2. Множество 2, 4, 8, 16… … счетно.

Действительно, в данном случае имеем множество степеней числа 2. Здесь каждому числу соответствует число n.

Пример 4. Множест-во всех рациональных чисел – счетно. Известно, что рациональное число можно представить в виде дроби r=q/p, где q и p – любые целые числа. Для того чтобы убедиться в том, что множество рациональ-ных чисел счетно, представим все

Итак, если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответстивие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счетным.1 Если бесконечное множество невозможно привести во взаимно однозначное соответсвие с натуральным рядом чисел, то его называют несчетным.

………….

…………

..... …………

множество рациональных чисел в виде таблицы, в которую занесем несократимые дроби. Обходя таблицу по направлению стрелок, приходим к последовательности

1, 2, , , , 3, 4, , , , , , , ,…..,