Основные характеристики нечетких множеств

Примеры записи нечеткого множества

Понятие нечёткого множества.

В своих трудах Заде расширил классическое понятие множества, допустив, что функция принадлежности элемента множеству может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy).

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {m_A (х)/ х }, где m_A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {m_A(х)/ х }, где
m_A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть E = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

m_A(x ₁)=0,3;
m_A(x ₂)=0;
m_A(x ₃)=1;
m_A(x ₄)=0,5;
m_A(x ₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:
A = {0,3/ x ₁; 0/ x ₂; 1/ x ₃; 0,5/ x ₄; 0,9/ x ₅ } или
A = 0,3/ x ₁ + 0/ x ₂ + 1/ x ₃ + 0,5/ x ₄ + 0,9/ x ₅, или

.

Замечание. Здесь знак " + " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

· Величина sup m _A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( m _A(x)=1). При m_A(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

· Нечеткое множество пусто, если " xÎE m _A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле m_A(x):= .

· Нечеткое множество унимодально, m _A(x)=1 только на одном x из E.

· Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством m _A(x)>0, т.е. носитель A = {x/m_A(x)>0} " xÎE.

· Элементы xÎE, для которых m_A(x)=0,5 называются точками перехода множества A.

·