Построение модели на примере стального симметричного двутавра

Рассмотрим симметричный двутавр со следующими геометрическими характеристиками:

, , , ,

Разделим сечение на некоторое количество слоев. Очевидно, что чем на большее число слоев мы будем делить элемент, тем точнее будет решение задачи, однако тем больше потребуется вычислений для решения задачи, что с учетом современного развития вычислительной техники не представляет затруднений.

Для рассматриваемой задачи разделим двутавр на 60 слоев равной толщиной по 1см. В общем случае, толщина слоев не обязательно должна назначаться равной, однако вывод уравнений в этом случае несколько усложняется, и в нашем решении мы будем стремиться к назначению слоев равной толщины.

В пределах каждого слоя введем обозначения:

- относительные деформации на уровне верхней грани слоя;

- относительные деформации на уровне нижней грани слоя

или - относительные деформации на уровне центра тяжести слоя

Заменим трапециевидную эпюру относительных деформаций в пределах каждого слоя на прямоугольную, тогда в пределах каждого слоя напряжения будут равны:

при напряжениях меньше предела текучести, т.е. при , , т.е. напряжения в каждом слое будут равны произведению модуля упругости данного слоя на относительные деформации в уровне центра тяжести слоя.

при достижении напряжениями предела текучести, очевидно (в случае если рассматриваемый металл имеет горизонтальную площадку текучести). Для материалов с условным пределом текучести, напряжения будут расти и после достижения условного предела текучести, однако скорость роста деформаций изменится по сравнению с напряжениями до предела текучести, данный эффект мы рассмотрим в дальнейшем.

Вычислив напряжения в каждом слое, можем записать выражения для усилия, создаваемого каждым слоем:

, т.е. усилие, создаваемое каждым слоем, будет равно произведению площади данного слоя на напряжение в данном слое. Данное усилие можно считать приложенным в центре каждого слоя. Для того, чтобы система находилась в равновесии сумма усилий в слоях должна равняться внешнему усилию, т.е. , при расчете изгибаемых элементов (без продольной силы), очевидно должно выполняться условие .

Для слоев расположенных в полке рассматриваемого двутавра , .

Для слоев расположенных в стенке рассматриваемого двутавра ,

Момент усилия каждого слоя относительно центра тяжести рассматриваемого сечения запишем в виде:

, где - расстояние от центра тяжести сечения до центра тяжести соответствующего слоя. Для того, чтобы система находилась в равновесии сумма моментов усилий в слоях должна равняться внешнему моменту, т.е.