Построение эпюр в ломаных стержнях

Систему, состоящую из жестко соединенных между собой стержней, оси которых не лежат в одной плоскости, будем называть ломаным стержнем. При этом ограничимся рассмотрением только таких ломаных стержней, отдельные элементы которых стыкуются друг с другом под прямыми углами, а внешние нагрузки приложены перпендикулярно к осям стержней (рис.17,а,б).

Рис.17

В общем случае нагружения в поперечных сечениях ломаных стержней могут возникать все 6 известных внутренних силовых факторов: продольная сила N_z, поперечные силы Q_x, Q_y, изгибающие моменты M_x, M_y, крутящий момент M_кр(M_z). Очень часто, особенно в машиностроительных конструкциях, отдельные элементы ломаного стержня имеют незначительную длину, иногда соизмеримую с размерами поперечного сечения, то есть являются "короткими" стержнями. В этом случае не только внутренние моменты M_x, M_y, M_кр(M_z), но и внутренние силы (N_z, Q_x, Q_y) существенно влияют на напряженно-деформированное состояние конструкции, поэтому для ломаных стержней будем строить эпюры всех шести внутренних силовых факторов.

Для правильного построения эпюр здесь обязательным является использование скользящей системы координат, о которой уже говорилось при рассмотрении плоско-пространственных систем (см.1.17).

Пример 12. Рассмотрим простейший случай нагружения ломанного стержня - двумя взаимноперпендикулярными сосредоточенными силами, приложенными на свободном конце (рис.18,а).

Выбираем скользящую систему координат (рис.18,б). Ось z всегда направлена вдоль продольной оси того или иного участка ломаного стержня, а при переходе с одного участка на другой координатные оси поворачиваются на 90 градусов, но никогда не вращаются вокруг оси z. Удобнее всего начинать выбор скользящей системы координат с горизонтального участка ломаного стержня, который параллелен плоскости чертежа или лежит в этой плоскости (участок ВС на рис.18,б).

На этом участке (а он аналогичен обычной балке) ось y направляется вертикально (вверх или вниз), ось z - вдоль продольной оси участка, а ось x - перпендикулярно плоскости yoz, после чего система координат передвигается на остальные участки ломаного стержня.

Построение эпюры N_z.

Построение этой и всех последующих эпюр ведем от свободного конца. Правило знаков для N_z остается таким же, как и для других систем, а именно: растяжению соответствует знак "+", сжатию - "-".

Участок АВ имеет нулевую продольную силу, так как F₁, F₂ перпендикулярны продольной оси этого участка:

N_z,1= N_z,2= 0.

Участок ВС растягивается силой F₂:

N_z,3= N_z,4= F₂.

Участок СД сжимается силой F₁:

N_z,5= N_z,6= - F₁.

Построение эпюр Q_x и Q_y.

Поперечную силу Q_xформируют только те силы, которые параллельны оси x на данном участке, а поперечную силу Q_y- силы, параллельные оси y. Здесь также сохраняется обычное для Q правило знаков: Q_x> 0 (Q_y> 0), если внешняя сила, приложенная к отсеченной части, стремится повернуть рассматриваемое сечение по часовой стрелке и Q_x< 0 (Q_y< 0) - в противоположном случае. С учетом сказанного в характерных сечениях имеем:

Рис.18

Построение эпюр M_x, M_y.

Ординаты эпюр изгибающих моментов будем, как обычно, откладывать со стороны сжатых волокон, не указывая знаков, причем ориентировать эпюры нужно так, чтобы плоскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того изгибающего момента, для которого она построена. Иначе говоря, эпюра M_x на всех участках ломаного стержня располагается в плоскости yoz, а эпюра M_y- в плоскости xoz.

Начнем с построения эпюры M_x. Здесь нас будет интересовать изгиб каждого участка в плоскости yoz (см. скользящую систему координат на

рис.18,б) и, соответственно, плечо каждой действующей на отсеченную часть нагрузки нужно измерять в этой плоскости.

На участке АВ плоскость yoz - вертикальная плоскость, параллельная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень АВ изгибается только силой F₂, так как F₁ перпендикулярна плоскости yoz:

M_x,1= 0;

M_x,2= F₂·a (сжаты правые волокна).

На участке ВС плоскость yoz ориентирована так же, как и на участке АВ, причем, все точки ВС равноудалены от линии действия силы F₂, поэтому:

M_x,3= M_x,4= F₂·a (сжаты верхние волокна).

На участке СД плоскость yoz - вертикальная плоскость, перпендикулярная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень СД изгибается только силой F₁, так как F₂ перпендикулярна yoz; все точки участка СД равноудалены (в рассматриваемой плоскости) от линии действия силы F₁, следовательно:

M_x,5= M_x,6= F₁·a (сжаты нижние волокна).

Рассуждая аналогичным образом, будем строить эпюру M_y, но теперь нужно рассматривать изгиб каждого участка ломаного стержня в плоскости xoz.

На участке АВ плоскость xoz - вертикальная плоскость, перпендикулярная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень АВ изгибается только силой F₁, так как F₂ перпендикулярна плоскости xoz:

M_y,1= 0;

M_y,2= F₁·a (сжаты дальние от наблюдателя волокна).

На участке ВС плоскость xoz - горизонтальная плоскость. В этой плоскости сила F₂ приложена вдоль продольной оси стержня ВС и к изгибу привести не может, поэтому:

M_y,3= 0;

M_y,4= F₁·b (сжаты дальние от наблюдателя волокна).

На участке СД плоскость xoz - это так же горизонтальная плоскость. Здесь к изгибу стержня СД приводят обе силы: плечо силы F₁ постоянно и равно b, а плечо силы F₂ равно нулю в сечении 5 и равно с в сечении 6:

M_y,5= F₁·b,

M_y,6= F₁·b + F₂·c (сжаты правые волокна).

Иногда при построении эпюр изгибающих моментов в ломанных стержнях возникают затруднения в определении участия той или иной нагрузки в изгибе стержня или в определении плеча той или иной нагрузки. В этих случаях всегда можно использовать простой, но эффективный прием: спроектировать конструкцию и действующие нагрузки на ту плоскость в которой изгибается стержень, переходя тем самым от пространственной конструкции к ее проекции, что позволяет легко определить плечи каждой из нагрузок и их "вклад" в изгиб рассматриваемого участка. Проследим использование этого приема например, при построении эпюры M_y на участке СД (рис.18,а,б). На этом участке плоскость xoz, в которой нужно рассматривать изгиб стержня при построении M_y- горизонтальная плоскость, следовательно, для реализации описываемого приема необходимо спроектировать конструкцию на горизонтальную плоскость, то есть изобразить вид сверху (рис.19).

Рис.19

При этом сила F₂ будет видна направленной вдоль стержня ВС, сила F₁- перпендикулярно ВС, а стержень ВА проектируется в точку. Теперь совершенно очевидно, что все точки стержня СД равноудалены от линии действия силы F₁, что приводит к постоянному моменту F₁·b, а сила F₂ имеет нулевое плечо в сечении 5 и плечо, равное с, - в сечении 6: