Решениe

x1 = (710-720)/12» -0.83

x2 = (740-720)/12» 1.67

Ф(-0.83) = -Ф(0.83)» -0.2967 Ф(1.67)» 0.4527

P₉₀₀(710<=k<=740)» 0.4525 + 0.2967 = 0.7492 ►

◄Задача. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение. Пусть k - число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить вероятность выполнения неравенства | k /1000 –0.02 | < 0.01. Оно равносильно неравенству 11 k 29. Следовательно, P(| k/1000 – 0.02 | < 0.01) = P₁₀₀₀(11 k 29).

Так как npq = 1000 • 0,02 • 0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности P₁₀₀₀(11 k 29) воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа. В данном случае x₁=(11-1000*0.02) / Ö1000*0.02*0.98» -2.03, x₂=(29-20) / 4.43» 9/4.43» 2.03,

Ф(-2.03)» -0.4788, Ф(2.03)» 0.4748. Следовательно, имеем:

P₁₀₀₀(11 k 29)» 0,4788+ 0,4788 = 0,9576. ►

4.

Приближенная формула Пуассона. Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , , то при любых P(X = k) = P_n(k) = = = » = /l = np/ =

Замечание 1. На практике пуассоновским приближением пользуются при np ≤ 10. Замечание 2.

◄Задача. Изготовлено 1000 изделий. Вероятность брака при изготовлении одного изделия - 0,003. Какова вероятность точно двух бракованных изделий? Какова вероятность что количество бракованных изделий более 5?

Решение. Вероятности оцениваются по формуле Пуассона n = 1000, p = 0,003, l = np = 3

P(X = 2) = = 4,5•e^-3 = 0,22404;

P(X > 5) = 1 – P(X £ 5) = = 1 -0,91608 = 0,08392.►

◄Задача. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найдите вероятности следующие событий:

а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию;

в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при l= 400 • 0,01 = 4.

а) P₄₀₀(5)» (4⁵ / 51!)*e ^{– 4}» 0,156293;

б) p₄₀₀(0 k 4)» 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + + 0,195367 + 0,195367 = 0,628838;

в) P₄₀₀ (3 k 400) = 1-P₄₀₀(0<=k<=2) = 1 - 0,018316 - 0,073263- 0,146525

=0,761896. ►