И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. Введение

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
И ИХ ГРАФИКИ

Учебное пособие

Томск

Издательство Томского государственного университета

систем управления и радиоэлектроники

Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С.

Элементарные функции и их графики: учеб. пособие / И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2011. – 52 с.

Приведены определения, свойства и графики основных элементарных функций, а также правила линейных преобразований графиков функций. Особое внимание уделено графикам гармонических колебаний.

Учебное издание

Гриншпон Ирина Эдуардовна

Гриншпон Яков Самуилович

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

И ИХ ГРАФИКИ

Учебное пособие

Компьютерная верстка Я.С. Гриншпона

Подписано в печать... Формат 60´84/16.

Усл. печ. л. …... Заказ. Тираж экз.

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники.

634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

Тел. 8 (3822) 533018.

Ó	Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С., 2011
Ó	Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2011

Введение

При изучении различных явлений мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, связанных между собой так, что значения одних переменных величин (независимых переменных) определяют значения других переменных величин (зависимых переменных или функций). Например, при изменении радиуса круга меняется его площадь. При изменении скорости тела изменяется путь, пройденный телом за данный промежуток времени. При изменении сопротивления проводника изменяется сила тока в цепи.

Отвлекаясь от конкретного смысла переменных, математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает их взаимосвязи.

Понятие переменой величины (функции) является одним из центральных понятий математического анализа. Оно является для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, таким же фундаментальным, как понятие числа для арифметики.

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития.

Впервые понятие функции было введено в знаменитом труде математика и философа Рене Декарта «Геометрия» (1637 г.) под названием «переменная величина». В геометрическом и механическом понимании это понятие интерпретируется у Исаака Ньютона (1671 г.). Под функцией он понимал переменную величину, которая изменяется с течением времени. Эту величину Ньютон называл «флюентой».

Термин «функция» (от латинского functio – исполнение) впервые ввёл в 1673 году немецкий математик Готфрид Лейбниц в письме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связывалась с геометрическим образом (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону). В работах Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. В 18 веке функцию стали рассматривать как формулу, связывающую одну переменную с другой. Швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». В 1755 году в «Дифференциальном исчислении» Леонард Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Современное определение функции как зависимости одной переменной величины от другой было дано в работах Николая Ивановича Лобачевского («Об изчезании тригонометрических строк», 1834 г.) и чешского математика Бернарда Больцано.

Введение переменной в математику оказало решающее влияние на развитие математической науки. Кроме количественных соотношений между постоянными величинами, математика смогла изучать процессы, связанные с изменением величин и движением вообще.

Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой областью применения. Это простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своем составными элементами последних. К элементарным функциям относятся основные элементарные функции (степенные, тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные, логарифмические) и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций.

Для успешного усвоения программы по высшей математике студент должен иметь достаточную математическую базу. В этом пособии систематизированы сведения о функциях, которые изучались в школе на протяжении всего курса математики. В нем рассматриваются основные элементарные функции, приводятся их свойства, строятся графики. Излагается построение графиков линейной, квадратичной и дробно-линейной функций. Рассматриваются линейные преобразования графиков функций: параллельный перенос графиков, их сжатие и растяжение по осям, симметрии относительно осей координат. В последнем параграфе рассматриваются гармонические колебания и строятся графики гармоник.

Рассмотрение элементарных функций продиктовано необходимостью повторения и закрепления знаний студентов по данному разделу математики и подготовки их к успешному изучению математического анализа.