Логические функции двух, трёх и более переменных

Количество функций двух переменных , а для трёх переменных имеем уже функций.

Таблицы истинности всех шестнадцати булевых функций двух переменных представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

x 1

x 2

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

f 6

f 7

f 8

f 9

f 10

f 11

f 12

f 13

f 14

f 15

f 16

Фиктивные переменные

x 1 x 2

x 2

x 1

x 1

x 2

x 1 x 2

Для каждой функции в четырёх строках таблицы приведены её значения, соответствующие четырём возможным комбинациям аргументов x ₁ и x ₂ . В таблице для каждой функции показаны также фиктивные переменные, если они имеются.

Функция f ₁ называется нулём, а f ₁₆ – единицей, как и в случае функций одной переменной. Функции f ₄, f ₆, f ₁₁ и f ₁₃ не зависят от одного из аргументов: , , , . Для функций f ₄ и f ₁₃ переменная x ₁ является существенной, а x ₂ – несущественной; для функций f ₆ и f ₁₁ ­– всё наоборот.

Только оставшиеся десять функций являются полноценными нетривиальными функциями двух переменных.

Табл. 2.3 можно представить и в другом виде, выполнив её транспонирование, результатом чего является табл. 2.4, где в последнем столбце указаны также обозначения соответствующих логических операций.

Рассмотрим подробнее все нетривиальные функции двух переменных, а для некоторых из них и функции трёх аргументов. Для функций двух переменных дополнительно проведены иллюстрации, поясняющие смысл соответствующих логических операций.

Таблица 2.4

Функция	х 1 х 2	Обозначения функций
f 1					“0”
f 2
f 3
f 4					x 1
f 5
f 6					x 2
f 7
f 8
f 9
f 10
f 11
f 12
f 13
f 14
f 15
f 16					“1”

Функция f ₂(x ₁, x ₂) = или или или называется конъюнкцией, логическим умножением или функциейИ. Она принимает значение 1 только в том случае, когда все аргументы равны 1 (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1), а значение 0 ­– во всех остальных случаях (когда хотя бы одна из переменных будет равна 0).

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	x 3	F

Рис. 2.2. Логическая функция И

На рис. 2.2 поясняется смысл операции И. Видно, что по цепи потечёт ток и лампочка загорится (F = 1) только тогда, когда замкнуты оба ключа (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1).

Функция И трёх и более переменных также принимает значение “1” только при единичных значениях всех её аргументов (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1, и x ₃ = 1). Таблица истинности функции И имеет только одну “1” на последней комбинации.

Функция f ₈(x ₁, x ₂) = или называется дизъюнкцией, логическим сложением или функцией ИЛИ. Она принимает значение 1, если хотя бы один из аргументов или все равны 1 (или x ₁ = 1, или x ₂ = 1, или x ₁ = x ₂ = 1), а значение 0 – только при x ₁ = x ₂ = 0. Из рис. 2.3 видно, что по цепи лампочки потечёт ток и она загорится тогда, когда замкнут хотя бы один из ключей.

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	x 3	F

Рис. 2.3. Логическая функция ИЛИ

Функция ИЛИ трёх и более переменных также принимает значение “1” при единичном значении любого из аргументов (или
x ₁ = 1, или x ₂ = 1, или x ₃ = 1, или x ₁ = x ₂ = x ₃ = 1). Таблица истинности функции ИЛИ имеет только один “0” на первой комбинации.

Функция f ₁₅(x ₁, x ₂) = или или или или называется штрихом Шеффера, функцией Шеффера или функцией И-НЕ. Она работает полностью противоположно операции И, поэтому принимает значение 0 только в том случае, когда все аргументы равны 1 (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1), а значение 1 – в остальных случаях, т. е. когда хотя бы один из аргументов равен 0.

На рис. 2.4 поясняется смысл операции И-НЕ. Видно, что в цепи лампочки не будет течь ток и она не будет гореть (F = 0) только тогда, когда оба ключа замкнуты (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1), т. к. при этом реле K срабатывает и размыкает свой ключ. Если же разомкнут хотя бы один из ключей (или x ₁ = 0, или x ₂ = 0, или x ₁ = x ₂ = 0), то реле не размыкает ключ в цепи лампочки и она горит (F = 1).

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	x 3	F

Рис. 2.4. Логическая функция И-НЕ

Функция И-НЕ трёх и более переменных также принимает значение “0” только при единичных значениях всех её аргументов (и x ₁ = 1, и x ₂ = 1, и x ₃ = 1). Вообще таблица истинности функции И-НЕ имеет только один “0” на последней комбинации.

Функция f ₉(x ₁, x ₂) = или или называется функцией Пирса, стрелкой Пирса, а также функцией ИЛИ-НЕ. Она принимает значение 0, если хотя бы один из аргументов или все равны 1 (или x ₁ = 1, или x ₂ = 1, или x ₁ = x ₂ = 1), а значение 1 – только при x ₁ = x ₂ = 0. Из рис. 2.5 видно, что в цепи лампочки не будет течь ток и она не будет гореть (F = 0), если замкнут хотя бы

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	x 3	F

Рис. 2.5. Логическая функция ИЛИ-НЕ

один из ключей (или x ₁ = 1, или x ₂ = 1, или x ₁ = x ₂ = 1), т. к. при этом реле K срабатывает и размыкает свой ключ. Если же оба ключа разомкнуты (и x ₁ = 0, и x ₂ = 0), то реле не размыкает ключ в цепи лампочки и она горит (F = 1).

Функция ИЛИ-НЕ трёх и более переменных также принимает значение “0” при единичном значении любого из аргументов (или x ₁ = 1, или x ₂ = 1, или x ₃ = 1, или x ₁ = x ₂ = x ₃ = 1). Таблица истинности функции ИЛИ имеет только одну “1” на первой комбинации.

Функция f ₇(x ₁, x ₂) = называется функцией сложения по модулю 2, а также исключающим ИЛИ, кольцевой суммой, нетождественностью, неэквивалентностью, нечётностью. Значения этой функции получаются по правилу суммы по модулю 2: 0 Å 0 = 0, 0 Å 1 = 1, 1 Å 0 = 1, 1 Å 1 = 0. Она принимает значение 1, когда только один из аргументов равен 1 (или только x ₁ = 1, или только x ₂ = 1) или когда сумма значений аргументов является нечётным числом, исключая тем самым одинаковые значения аргументов, т. к. при равных значениях переменных функция принимает значение 0.

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	x 3	F

Рис. 2.6. Логическая функция Исключающее ИЛИ

Из рис. 2.6 видно, что в цепи лампочки будет течь ток и она будет гореть (F = 1) только тогда, когда переменные x ₁ и x ₂ будут иметь различные значения (только в этом случае лампочка будет подключена к батарее). При одинаковых значениях переменных лампочка будет замыкаться сама на себя и не будет гореть (F = 0).

Для трёх и более переменных такая функция будет иметь смысл только функции суммы по модулю 2 (кольцевой суммы) и нечётности. Например, значение функции будет равно 1, если сумма всех значений аргументов есть нечётное число, и 0 – если эта сумма является чётным числом.

Функция f ₁₀(x ₁, x ₂) = или или показывает равнозначность (эквивалентность, тождественность) аргументов x ₁, x ₂ . Она также называется функцией чётности. Эта функция принимает значение 1, только когда оба аргумента равны между собой (или x ₁ = x ₂ = 0, или x ₁ = x ₂ = 1) или когда сумма значений аргументов является чётным числом, поэтому можно сделать вывод, что она является обратной функцией для исключающего ИЛИ.

		x 1	x 2	F		x 1	x 2	X 3	F

Рис. 2.7. Логическая функция равнозначности (чётности)

Для получения схемы функции равнозначности (чётности) можно на схеме на рис. 2.6 поменять местами контакты любой из переменной, но только одной: либо для x ₁ , либо для x ₂ .

Из рис. 2.7 видно, что в цепи лампочки будет течь ток и она будет гореть (F = 1) только тогда, когда переменные x ₁ и x ₂ будут иметь одинаковые значения, т. к. только в этом случае лампочка будет подключена к батарее. При разных значениях переменных лампочка будет замыкаться сама на себя и не будет гореть (F = 0).

Для трёх и более переменных такая функция будет иметь смысл только функции чётности. Например, значение функции будет равно 1, если сумма всех значений аргументов есть чётное число, и 0 – если эта сумма – нечётное число.

Функция f ₁₂(x ₁, x ₂) = или – функция следования (импликация) от x ₂ к x ₁ , которая принимает значение 0 тогда и только тогда, когда x ₁ = 0, а x ₂ = 1.

Функция f ₁₄(x ₁, x ₂) = или – функция следования (импликация) от x ₁ к x ₂, принимающая значение 0 тогда и только тогда, когда x ₁ = 1, а x ₂ = 0.

В табл. 2.5 и 2.6 отражены таблицы истинности этих двух функций-импликаций, которые имеют смысл только для двух аргументов.

Таблица 2.5 Таблица 2.6

x 1	x 2	F		x 1	x 2	F

Импликация Импликация

Функция f ₃(x ₁, x ₂) = или или или называется функцией запрета по x ₂ и характеризуется тем, что равенство x ₂ = 1 запрещает функции принимать значение “1” при любых значениях аргумента x ₁ , обнуляя тем самым функцию.

Функция f ₅(x ₁, x ₂) = или или или называется функцией запрета по x ₁ , т. к. равенство x ₁ = 1 запрещает функции принимать значение “1” при любых значениях аргумента x ₂ .

Таблица 2.7 Таблица 2.8

x 1	x 2	F		x 1	x 2	F
		0
						0
		0				0

Функция запрета по x ₂ Функция запрета по x ₁

Эти две функции запрета, таблицы истинности которых приведены в табл. 2.7 и 2.8, также существуют только для случая двух переменных.

Теоретически, функции И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ, чётность и нечётность могут иметь сколько угодно, но конечное число аргументов x ₁, x ₂, …, x_m.