Основные понятия двоичной арифметики

Любая информация (текстовая, звуковая, графическая, видео) для обработки в ЭВМ преобразуется в двоичный код. Один разряд двоичного кода соответствует единице информации и называется битом [ Bit ]. Группа из 8 двоичных разрядов называется байтом [ Byte ]. Также в цифровой технике встречается понятие слова [ Word ], под которым обычно по умолчанию понимается два байта (16 бит). Реже словом называют четыре и более байта, но в таком случае это специально оговаривается.

В ЭВМ информация, представленная двоичными числами, подвергается арифметической и логической обработке. Поэтому все двоичные константы, переменные, сигналы, операции и выражения, используемые в теории цифровых устройств, можно разделить на два типа:

1. логические (одноразрядные);

2. арифметические (многоразрядные).

В основе логических операций, реализуемых с помощью логических элементов (ЛЭ) и схем, лежит специальный математический аппарат – математическая логика и, прежде всего, алгебра логики (Булева алгебра) или вычисления высказываний.

Высказывание – это любое утверждение, о котором можно сказать одно из двух взаимоисключающих утверждений – “ложно” или “истинно”.

Простые логические высказывания могут быть объединены в логические выражения с помощью основных логических операций, отражающих их логические связи.

Проектирование экономичных логических схем осуществляется с помощью специального математического аппарата, содержащего регулярные методы выполнения некоторых важных этапов решения этой задачи. Этот аппарат предложен в середине 19 века английским математиком Джорджем Булем для исчисления высказываний в формальной логике и носит название алгебры Буля или булевой алгебры.

С появлением сложных переключаемых схем булева алгебра легла в основу теории схем, называемых логическими. Впервые возможность применения булевой алгебры для этих целей была показана независимо В. И. Шестаковым (1936 г.) и Клодом Шенноном (1938 г.).

Логическая (булева, двоичная) константа – это константа, которая занимает один разряд (бит) и всегда принимает только одно из двух постоянных значений: “0” (“ложь”) [ False ] или “1” (“правда”) [ True ].

В логике константа “0” может соответствовать отсутствию чего-либо (например, то же понятие “ложь” можно понять как “отсутствие правды”), а константа “1” – наличию чего-либо.

Логическая (булева) переменная отличается от константы только тем, что её значение со временем может меняться (т. е. оно не постоянно), причём в одно и то же время она может принимать только одно из двух значений: “0” или “1”.

Логические переменные обычно обозначаются через x, y, z или другие буквы латинского алфавита.

Другое определение логической: переменная х, которая может принимать то или иное значение из набора {0, 1}, называется логической.

Логический сигнал – это физический процесс, соответствующий конкретной логической константе или переменной. Из этого определения следует, что логический сигнал в общем случае может быть как постоянным, так и переменным.

В таком сигнале логическим уровням “0” и “1” соответствуют свои физические уровни в зависимости от способа кодирования (потенциальная, импульсная или смешанная), типа логики (положительная или отрицательная) и значений потенциалов уровней.

Логическая операция – это логическое действие, выполняемое над логическими константами и переменными, а также сигналами.

Результатом логической операции также может быть только одно из двух значений: “0” или “1”.

Логическое выражение – это выражение, составленное из логических констант, переменных, над которыми выполняются определённые логические операции. Результатом логического выражения является одно из двух значений: “0” или “1”.

Арифметические константы, переменные, сигналы, операции и выражения отличаются от логических только тем, что являются многоразрядными и занимают несколько бит, причём эти биты имеют чёткую иерархию: самый левый разряд является старшим, а самый правый – младшим.

Если задано конкретное число разрядов n, то число арифметических констант ограничено и равно N = 2 ⁿ; если же число бит не оговорено, то количество двоичных чисел считается бесконечным.

Арифметические переменные и сигналы обозначаются через латинские буквы a, b, c и т. д.

Результатом арифметических операций в общем случае также является многоразрядное число, причём во время вычислений могут возникнуть следующие ситуации:

1) перенос в старший разряд;

2) заём (займ) из старшего разряда;

3) ошибка переполнения разрядной сетки и т. д.

Нужно заметить, что даже самые сложные преобразования цифровой информации в конечном счёте сводятся к простейшим операциям над логическими переменными.