Исследование качественной структуры окрестности состояния равновесия (особые точки)

, – компоненты вектора f зависимы от фазовых координат. n=2

Все первые производные равны 0. ; ; – не одна особая точка. Введем обозначения:

. Состояние равновесия в котором наз. простым.

Разложение по степеням нелинейной функции исходного уравнения. :

– разложение со второго порядка и выше.

Сделаем замену переменных: =>

Линеаризация уравнения вблизи : линеаризованная система вблизи точек равновесия.

Для системы «хищник-жертва»

Рассмотрим координаты особых точек:

1. ;

I. (0,0) II. ()

Линеаризация вблизи особых точек:

; ; (седло)

Поведение системы при больших N

;

-> . Далеко от начала координат имеет прямую.

;

Точка (0,0) – седло.

Сепаратрисы – кривые, проходящие через общую точку

Домножаем уравнения на и , сложим.

Домножая исходное уравнение на и и суммируем:

Из (1) вычтем (2):

Умножим на dt и проинтегрируем:

Это выражение будет первым интегралом исходной системы.