В общем случае

– первый интеграл в системе диф.уравнений, если эта функция постоянна вдоль каждого решения.

Для n=2:

Фазовые траектории для такой системы – замкнутые кривые, если С1 не соответствует критической точке на поверхности Ф. Критической точке на поверхности Ф соответствуют особые точки диф.уравнения.

В системе с первым интегралом имеются особые точки, только центр и седла.

6. Возможный характер простых состояний равновесия.

, – компоненты вектора f зависимы от фазовых координат.

I. ; ;

Корни действительные разные

– устойчивый узел

– неустойчивый узел

II. ; – седло.

III. ; ;

U<0 – устойчивый фокус

U>0 – неустойчивый фокус

7. Направления, вдоль которых фазовые траектории стремятся к простым состояниям равновесия. Угловой коэффициент направлений.

; ;

ОМ – луч;

M(t) – пересечение луча с траекторией L

OM(t); ; ; OM* - касательная к L.

Если L стремится к положению равновесия, то существует

Угловой коэффициент. Характеристические числа для линеаризованной системы.

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="36"/><w:sz-cs w:val="36"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

имеет предел тогда и только тогда, когда имеет предел .

Из линеаризованной системы получим

Заменим y=kx (уравнение луча)

;

8. Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.

При линеаризации получим: t wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:e></m:mr></m:m></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ; . Система не консервативная.