Лабораторная работа №1

Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии

Построению нелинейных регрессионных моделей предшествует процедура линеаризации переменных.

Линеаризация – (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причем, если система переходит с одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x, y) → (x’, y’), система нормальных уравнений имеет вид:

в преобразованных переменных x’, y’.

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения.

Гиперболическая регрессия: .

Линеаризующее преобразование: .

Тогда

.

Экспоненциальная регрессия: .

Линеаризующее преобразование: .

Степенная функция: .

Линеаризующее преобразование: .

.

Переход к параметру a уравнения степенной зависимости производят c помощью потенцирования по формуле:

.

Показательная функция: .

Линеаризующее преобразование: .

Переход к параметрам уравнения показательной зависимости (a, b) производят по формулам:

; .

Логарифмическая функция: .

Линеаризующее преобразование: .

Задача

Для определения зависимости между рождаемостью в России (переменная y измеряемая в тыс. чел.) и средней заработной платой (переменная x, измеряемая в руб.) были проведены исследования, результаты которых представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Годы	Рождаемость в тыс. чел. y	Средняя заработная плата, руб. в мес. x
	886,9	2290,1
	928,6	3078,4
	998,1	3947,2
	1050,6	5170,4
	1074,3	6410,4
	1036,9	8023,2

Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

- равносторонней гиперболы;

- степенной функции;

- показательной функции.