Алгебраические линии и поверхности

Пусть на плоскости задана некоторая аффинная система координат. Тогда любая точка плоскости задается парой действительных чисел.

Определение 1. Множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(1)

называется линией. Если уравнение (1) разрешимо относительно y, то оно переписывается

. (1’)

Иногда для описания линии используют векторную форму записи:

. (2)

Здесь параметр , - радиус-вектор точек на линии, при изменении t концы описывают некоторую линию.

Если на плоскости рассматривается декартова система координат, то каждый радиус-вектор может быть представлен . Тогда уравнение (2) в координатах принимает вид

(3)

- параметрическое уравнение линии.

Например, - уравнение окружности, а

- уравнение спирали (см. рис.).

Линию на плоскости иначе можно задать в полярной системе координат уравнением следующего вида:

,

где - длина , - полярный угол.

Например, - полярное уравнение линии.

Если перечисленные уравнения рассматривать парами, т.е.

или или или

Тогда каждая система определяет множество точек, являющихся пересечением двух линий.

Аналогично, множество решений уравнения

, (5)

можно рассматривать как поверхность в трехмерном пространстве, где - координаты точки в заданной системе координат. Если (5) разрешимо относительно одной из переменных, то оно может быть, например, переписано в виде

. (5’)

Замечание. Если уравнение поверхности (5) не содержит одной из переменных, то соответствующая поверхность называется цилиндрической.

Прямые линии, из которых она состоит, называются её образующими, а линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.

Пример. Образующие и направляющая для поверхности (параболический цилиндр) приведены на рисунке.

Если рассматривать систему

, (6)

состоящую из двух уравнений поверхностей, то система (6) в общем случае описывает кривую пересечения этих поверхностей.

Пример. Множество всех решений системы

представляет собой окружность радиуса , расположенную на высоте 1/2 от плоскости Oxy.

Любую кривую в пространстве можно также описать в виде

(7)

- векторное параметрическое уравнение линии.

Если , то уравнение (7) в координатах принимает вид

(8)

- координатное параметрическое уравнение линии в пространстве.

Определение 2. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которые в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению:

(9)

где . Величина наибольшей из сумм называется порядком алгебраической поверхности.

Аналогичное определение вводится для алгебраической линии на плоскости.

Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка p в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением вида (9) порядка p.

Доказательство. Пусть в некоторой аффинной системе координат поверхность задана уравнением (9). Тогда при переходе в другую аффинную систему координат переменные преобразуются по формулам:

(10)

где - матрица перехода к другому базису, а вектор - координаты преобразованного начала координат. Очевидно, что после подстановки (10) в (9) порядок уравнений не повышается.

Если бы после подстановки (10) в (9) порядок полученного уравнения повысился, то в силу обратимости (10) порядок поверхности мог бы возрасти, а это невозможно. Таким образом, при переходе к другой системе координат порядок поверхности не изменяется, ч.т.д.∎