Пересечение многогранных и кривых поверхностей

Лекция 7

Вопросы для самопроверки

1. Можно ли пересечь боковую поверхность произвольной четырехугольной пирамиды по параллелограмму?

2. К каким задачам сводится построение сечения многогранной поверхности плоскостью?

3. В каких случаях плоскость пересекает коническую поверхность по двум прямым?

4. Какие точки называют характерными или опорными?

Многогранные поверхности пересекаются между собой в общем случае по пространственной ломаной линии, звенья которой отрезки прямой. Эта линия при определенных условиях может распадаться на части. Вершинами ее являются точки пересечения ребер одной многогранной поверхности с гранями другой и наоборот ребер второй с гранями первой. Сторонами линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обеих поверхностей. Построение такой линии, как и в случае с плоскими сечениями многогранников, сводится к задачам по построению пересечения прямой с плоскостью и плоскостей соответственно при нахождении вершин и отрезков этой линии.

Рис. 49

На рис. 49, а показаны две призмы, поверхности которых пересекаются по пространственной ломаной линии, вершины которой обозначены A, B, C,и D. Точки A и B являются точками пресечения ребра нижней призмы с двумя гранями верхней, а точки С и D определяются в пересечении ребра верхней призмы с гранями нижней. Наглядное изображение нижней призмы, с построенной на ней линией пересечения, представлено на рис. 49, б.

Кривая и многогранная поверхности пересекаются между собой в общем случае по пространственной ломаной, звенья которой плоские кривые линии. Эта линия при определенных условиях может так же распадаться на части. Вершинами ее являются точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а звенья представляют собой плоские кривые линии, полученные в результат пересечения граней многогранника с кривой поверхностью. Поэтому построение линии пересечения рассматриваемых поверхностей сводится к двум простым задачам, а именно, к пересечению поверхности с прямой и плоскостью.

Рис. 50

На рис. 50, а представлен комплексный чертеж, на котором показано пересечение цилиндрической поверхности вращения с поверхностью треугольной призмы. В этом примере грани призмы пересекают поверхность цилиндра по эллипсам. Наглядное изображение цилиндрической поверхности вместе с линией пересечения, на которой обозначены характерные точки А, В и С, представлено на рис. 50, б.

Кривые поверхности пересекаются между собой по пространственной кривой линии, которая при определенных условиях может распадаться на части, как и в предыдущих комбинациях пересекающихся поверхностей.

Комплексный чертеж пересекающихся цилиндрических поверхностей вращения приведен на рис. 51, а. Линия их пересечения представляет собой пространственную кривую линию четвертого порядка. На рис. 51, б представлено наглядное изображение нижнего цилиндра вместе с линией пересечения, на которой обозначены характерные точки А, В, С и D.

Рис. 51

Распадение линии пересечения поверхностей на части во всех рассмотренных комбинациях при ее построении происходит в том случае, если одна поверхность полностью охватывает другую. Такое пересечение образно называют «прострелом». В остальных комбинациях называют – «врезом» (см. рис. 49, 50, и 51). Границей двух таких вариантов взаимного расположения поверхностей является их касание друг друга.