Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений (потенциалов)

Как известно, переменными в методе узловых напряжений являются напряжения n_у - 1 узлов по отношению к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 26 Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями I= αU³ для элемента H3₁ и I = βU₂ для элемента НЭ₂. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током.

I₅ = H_iI₁.

Рис. 26. Схема цепи

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: 1, 2 и 3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения U₁, U₂ и U₃ следующим образом:

(21)

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:

I₁+ I₄ = I₀;

-I₁ + I₂ + I₅ = 0;

I₃ - I₄ - I₅ = 0.

Подставив в эти уравнения значения токов из (21), получим

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого уравнения выразить U₂ через U₁ и U₃ и исключить его из двух остальных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона - Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки. Задача о нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими методами, если зависимость I(U) нелинейного резистивного элемента задана аналитически.

(22)

относительно напряжения U = U₀ в рабочей точке резистора. Так например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у которого I= I₀(e^u/φT – 1 ), где I₀ и φ_T - некоторые постоянные, задача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцендентного уравнения I= I₀(e^u/φT – 1 )=(E-U)/R относительно неизвестного напряжения U = U₀ с последующим нахождением тока I₀ = (E - U₀)/R в рабочей точке диода.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора аппроксимирована полиномом I = a₁U + a₂U₂+... + a_nU, то уравнение (22) будет представлять собой алгебраическое уравнение степени n относительно искомого напряжения в рабочей точке и, как известно, в общем случае может быть решено лишь численно,если n > 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализируемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем случае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой же причине только в редких случаях удается найти решение задач анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простейших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.